Теорема про сферу (диференціальна геометрія)

• Формулювання з гомеоморфізмом і дифеоморфізмом мають назви відповідно топологічна теорема про сферу і гладка теорема про сферу.

• Найвідомішою умовою на кривину є так зване чверть-защеплення кривини, що означає, що секційна кривина в кожному секційному напрямку кожної точки лежить в ${\displaystyle (1,4]}$.
  • Умова чверть-защеплення є оптимальною, теорема перестає виконуватись, якщо секційна кривина може набувати значень у замкнутому інтервалі ${\displaystyle [1,4]}$. Стандартний контрприклад — комплексний проєктивний простір з канонічною метрикою; секційна кривина метрики набуває значень між 1 і 4, включно з кінцевими точками. Інші контрприклади можна знайти серед симетричних просторів рангу 1.
  • Загальнішою умовою є поточкове чверть-защеплення. Це означає, що секційна кривина додатна і для кожної фіксованої точки відношення максимуму до мінімуму секційних кривин по всіх секційних напрямках не перевершує 4.

• Іншою відомою умовою на кривину є додатність оператора кривини.
  • Загальнішою умовою є так звана 2-додатність оператора кривини, тобто додатність суми двох найменших власних значень оператора кривини.

• Першу теорему про сферу довів 1951 року Раух. Він показав, що однозв'язні многовиди із секційною кривиною в інтервалі [3/4, 1] гомеоморфні.

• 1960 року Марсель Берже і Вільгельм Клінгенберг довели топологічну версію теореми про сферу для чверть-защеплення.

• 1988 року Мікалеф і Мур довели топологічну версію для замкнутих многовидів із додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
  • Зокрема, з цього випливає топологічна теорема про сферу для додатного оператора кривини.
    • Те, що замкнуті многовиди з додатним оператором кривини є раціонально-гомологічними сферами, легко випливає з формули Бохнера.
  • Їх доведення використовує двовимірний аналог леми Сінга.

Класичні методи дозволяли довести гладку теорему про сферу тільки для дуже жорсткого защеплення, оптимальних защеплень вдалося досягти застосуванням потоку Річчі.

• 1982 року Річард Гамільтон довів гладку теорему про сферу в 3-вимірному випадку з додатною кривиною Річчі.
  • Це було перше застосування потоку Річчі, інші доведення гладкої теореми проходили за тією ж схемою, але вимагали серйозних технічних доробок.

• 1985 року Герхард Гуйскен використав потік Річчі для доведення гладкої теореми про сферу у всіх розмірностях.
  • Запропонована ним умова на кривину була в деякому сенсі оптимальною. Зокрема, тензор кривини добутку кола на сферу ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1}}$ лежить на межі умови на кривину.

• 2008 року Бурхард Вілкінг і Крістоф Бем довели гладку теорему про сферу для два-додатності оператора кривини. Зокрема, гладка теорема про сферу виконується за умови додатності оператора кривини.

• 2009 року Саймон Брендле і Річард Шен довели гладку теорему про сферу з чверть-защепленням. Їхнє доведення істотно використовувало ідеї Вілкінга і Бема.