Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускає узагальнення на тензор моменту інерції, що дозволяє отримати тензор ${\displaystyle J_{ij}}$ відносно довільної точки з тензора ${\displaystyle I_{ij}}$ відносно центру мас. Нехай d — зміщення від центру мас, тоді

${\displaystyle ~J_{ij}=I=I_{ij}+m{\begin{pmatrix}d_{2}^{2}+d_{3}^{2}&-d_{1}d_{2}&-d_{1}d_{3}\\-d_{1}d_{2}&d_{1}^{2}+d_{3}^{2}&-d_{2}d_{3}\\-d_{1}d_{3}&-d_{2}d_{3}&d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\end{pmatrix}}=I_{ij}+M({\boldsymbol {d}}^{2}\delta _{ij}-d_{i}d_{j})}$

де

${\displaystyle {\boldsymbol {d}}=d_{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}+d_{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}+d_{3}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$ — вектор зміщення від центру мас,

${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Як видно, для діагональних елементів тензора (при i = j) формула набуде вигляду теореми Гюйгенса-Штейнера для перерахунку моменту інерції відносно паралельної осі.

Будемо розглядати абсолютно тверде тіло, утворене сукупністю матеріальних точок.

Згідно визначення моменту інерції для ${\displaystyle J_{c}}$ та ${\displaystyle J}$ можна записати :

${\displaystyle Jc=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}}$,

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i}^{'})^{2}}$,

де ${\displaystyle r}$ — радіус-вектор точки тіла в системі координат з початком, який знаходиться в центрі мас, а ${\displaystyle r'}$ — радіус-вектор точки нової системи координат, через початок якої проходить нова вісь.

Радіус-вектор можна розписати як суму двох векторів :

${\displaystyle r'_{i}=r_{i}+d}$ ,

де ${\displaystyle d}$ — радіус-вектор відстаней між старою (яка проходить через центр масс) і новою віссю обертання. Тоді вираз для момента інерції набуде вигляду :

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}d+\sum _{i=1}^{n}m_{i}(d)^{2}}$.

Винісши d за суму, отримаємо :

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+2d\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}}$ .

Згідно визначення центру мас, для його радіус-вектора виконується

${\displaystyle r_{c}={\sum _{i}m_{i}r_{i} \over \sum _{i}m_{i}}}$ ,

Оскільки в системі координат з початком, який знаходиться в центрі масс, радіус-вектор дорівнює нулю, то буде виконуватися наступна рівність :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}=0}$ ,

Тоді :

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{k}m_{i}}$ ,

звідки і слідує шукана формула :

${\displaystyle J=J_{c}+md^{2}}$ ,

де ${\displaystyle J_{c}}$ — відомий момент інерції відносно осі, яка проходить через центр мас тіла.

Якщо тіло складається не із матеріальних точок, а утворено неперервно розподіленою масою, то в усіх вище наведених формулах сумування змінюється на інтегрування. Доведення при цьому є ідентичним, лише за винятком того, що буде інтеграл, а не сума.

Наслідок: з отриманої формули очевидно, що ${\displaystyle J>J_{c}}$. Тому можна стверджувати, що момент інерції тіла відносно осі, який проходить через центр мас тіла, є найменшим серед всіх моментів інерцій тіла відносно осей, які мають аналогічний напрям.

• Момент інерції
• Теорема перпендикулярних осей

• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.- К.: Техніка,2002.- 512 с. ISBN 966-575-184-0.
• Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник.- К.: ЦУЛ, 2004.- 402 с. ISBN 966-8253-79-5
• Федорченко А. М. Теоретична механіка.- Київ: Вища школа, 1975. — 516 с.

• Parallel axis theorem