Теорема перпендикулярних осей

Теорему перпендикулярних осей — можна використати для визначення моменту інерції твердого тіла, що цілком лежить у площині, щодо осі перепендикулярної до цієї площини, якщо ми знаємо моменти інерції об'єкта щодо двох перпендикулярних осей, які лежать в площині. Всі осі мають проходити через одну точку в площині.

Визначимо перпендикулярні осі $x\,$ , $y\,$ і $z\,$ (які зустрічаються в початку координат $O\,$ ) так, що тіло лежить в площині $xy\,$ і вісь $z\,$ перпендикулярна до площини тіла. Нехай I_x, I_y і I_z це моменти інерції щодо x, y, z відповідно, теорема перпендикулярних осей стверджує, що [1]

I_{z}=I_{x}+I_{y}\,

Це правило можна застосовувати із теоремою Гюйгенса — Штейнера і правилом розтягнення для віднайдення моментів інерції різних форм.

Виведення

Говорячи про декартові координати, момент інерції плоского тіла навколо осі $z\,$ є:[2]

I_{z}=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}

В площині, $z=0\,$ , отже ці два доданки є моментами інерції навколо осей $y\,$ і $x\,$ відповідно, звідки теорема. Зворотне твердження виводиться подібним чином.

Зауважте, що $\int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}$ бо в $\int r^{2}\,dm$ , r вимірює відстань від осі обертання, отже у випадку обертання навколо осі y, відхилення точки від осі обертання дорівнює її x-координаті.

Див. також

Теорема Гюйгенса — Штейнера (паралельних осей)

Примітки

Paul A. Tipler (1976). Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis. Physics. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.
K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence (2006). Ch. 6: Multiple Integrals. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Paul A. Tipler (1976). Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis. Physics. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.

[2] K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence (2006). Ch. 6: Multiple Integrals. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.