Теорема Феєра

Підставляючи коефіцієнти Фур'є у формули для часткових сум одержуються загальні формули:

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt.}$

Після заміни змінних можна також написати

${\displaystyle s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)dt,}$

де ${\displaystyle D_{n}(t)}$ позначає відповідне ядро Діріхле.

Тоді також

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}s_{k}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\left({\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{n}(t)\right)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt,}$

де ${\displaystyle F_{n}(t)}$ позначає відповідне ядро Феєра.

Далі, враховуючи, що для всіх ядер Феєра ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)dt=1,}$ також можна записати

${\displaystyle \sigma _{n}(x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(f(x-t)-f(x)\right)F_{n}(t)dt.}$

Оскільки ядро Феєра є невід'ємною функцією, то звідси:

${\displaystyle |\sigma _{n}(x)-f(x)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt.}$

Оскільки f є неперервною на проміжку [-π,π], то вона є на ньому рівномірно неперервною, тобто для кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для всіх ${\displaystyle |x-y|\leqslant \delta }$ ${\displaystyle |f(x)-(y)|<\varepsilon /2.}$

Інтеграл із останньої рівності можна записати як суму ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt=I_{1}+I_{2},}$ де:

${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leqslant \delta }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt}$

Через рівномірну неперервність функції f і знову використавши рівність ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)dt=1,}$ для першого інтегралу

${\displaystyle I_{1}<{\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leqslant \delta }\varepsilon F_{n}(t)dt=\varepsilon }$

Для другого інтегралу, якщо позначити ${\displaystyle M=\sup _{x\in [-\pi ,\pi ]}|f(x)|}$, то

${\displaystyle I_{2}\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }2MF_{n}(t)dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }F_{n}(t)dt}$

Згідно властивостей ядра Феєра останній вираз прямує до нуля для великих n, тобто для достатньо великих n:

${\displaystyle I_{2}\leqslant {\frac {M}{\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }F_{n}(t)dt<\varepsilon /2.}$

Остаточно у цьому випадку

${\displaystyle |\sigma _{n}(x)-f(x)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt=I_{1}+I_{2}<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .}$

Тобто ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ прямує до ${\displaystyle f(x)}$ і крім того збіжність є рівномірною оскільки індекс n у доведенні вище був обраний єдиним для всіх ${\displaystyle x.}$

• Ряд Фур'є
• Ядро Діріхле
• Ядро Феєра

• Zygmund, Antoni (1968). Trigonometric Series (вид. 2nd). Cambridge University Press (опубліковано 1988). ISBN 978-0-521-35885-9..