Ядро Діріхле

Нехай є сума косинусів: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\cos x+\cos(2x)+...+\cos(nx).}$

Помножимо кожен доданок на ${\displaystyle 2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}$ і перетворимо одержані доданки за допомогою стандартної тригонометричної формули ${\displaystyle 2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ):}$

${\displaystyle 2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\left({\frac {1}{2}}+\cos x+\cos(2x)+...+\cos(nx)\right)=\sin {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {3x}{2}}-\sin {\frac {3x}{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})x=\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x.}$

Необхідна рівність одержується діленням двох сторін на ${\displaystyle 2\sin \left({\frac {x}{2}}\right).}$

Сума скінченної геометричної прогресії є рівною

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$

Як наслідок, зокрема:

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$

Якщо домножити чисельник і знаменник на ${\displaystyle r^{-1/2}}$, то одержується рівність:

${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$

Для одержання необхідної тотожності у попередньому виразі потрібно взяти ${\displaystyle r=e^{ix}.}$ Тоді:

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}.}$

Розглянемо n-ну часткову суму ряду Фур'є:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)}$

Застосовуючи формулу косинуса різниці до виразу під знаком суми, одержуємо:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)}$

Застосовуючи це перетворення до формули (4), одержуємо:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)}$

Після заміни змінної ${\displaystyle u=t-x}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)}$