Неперервна функція

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.
2. існує границя ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$
3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})}$.

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ якщо:

${\displaystyle \forall (\epsilon >0)\exists (\delta >0)\forall x:\left|x-x_{0}\right|<\delta \implies \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon }$

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ якщо:

${\displaystyle \forall \{x_{n}\}:\lim _{n\to \infty }{x_{n}}=x_{0}\implies \lim _{n\to \infty }{f(x_{n})}=f(x_{0})}$.

Класифікація розривів функцій ${\displaystyle f:X\to Y}$залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

• якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
• якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)}$, то точка ${\displaystyle a}$ називається точкою усувного розриву функції ${\displaystyle f}$ (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію ${\displaystyle f}$ у точці усувного розриву і покласти ${\displaystyle f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)}$, то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Розрив «стрибок» виникає, якщо

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)}$.

Розрив «полюс» виникає, якщо однa з односторонніх границь нескінченнa.

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty }$ або ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty }$.

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Для функцій ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ та ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

• Якщо ${\displaystyle \exists \lim \limits _{x\to a}f(x)}$, то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
• Полюс визначається як ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty }$. В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що ${\displaystyle f(x)\to \infty }$, яким шляхом б він не ріс.
• Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

• Функція, неперервна в точці ${\displaystyle a\,}$, є обмеженою в деякому околі цієї точки.
• Якщо функція ${\displaystyle f\,}$ неперервна в точці ${\displaystyle a\,}$ і ${\displaystyle f(a)>0\,}$ (або ${\displaystyle \,f(a)<0}$), то ${\displaystyle f(x)>0\,}$ (або ${\displaystyle \,f(x)<0}$) для всіх${\displaystyle \,x}$, досить близьких до ${\displaystyle \,a}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f\,}$ та ${\displaystyle g\,}$ неперервні в точці ${\displaystyle \,a}$,то функції ${\displaystyle f+g\,}$ та ${\displaystyle f\cdot g\,}$ теж неперервні в точці ${\displaystyle \,a}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f\,}$ та ${\displaystyle g\,}$ неперервні в точці ${\displaystyle a\,}$ і при цьому ${\displaystyle \,g(a)\neq 0}$, то функція ${\displaystyle f/g\,}$ теж неперервна в точці ${\displaystyle \,a}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f\,}$ неперервна в точці ${\displaystyle a\,}$ та функція ${\displaystyle g\,}$ неперервна в точці ${\displaystyle \,b=f(a)}$, то їх композиція ${\displaystyle \,h=g\circ f}$ неперервна в точці ${\displaystyle \,a}$.

• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині ), рівномірно неперервна на ньому.
• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.

• Областю значень функції ${\displaystyle f\,}$, неперервної на відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$, є відрізок ${\displaystyle \,[\min f,\ \max f],}$ де мінімум і максимум беруться по відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f\,}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$ та ${\displaystyle \,f(a)\cdot f(b)<0,}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в якій ${\displaystyle \,f(\xi )=0}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f\,}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$ і число ${\displaystyle \varphi \,}$ задовольняє нерівності ${\displaystyle \,f(a)<\varphi <f(b)}$ або нерівності ${\displaystyle \,f(a)>\varphi >f(b),}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ у котрій ${\displaystyle \,f(\xi )=\varphi }$.
• Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
• Монотонна функція на відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$ неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями ${\displaystyle \,f(a)}$ та ${\displaystyle \,f(b)}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f\,}$ и ${\displaystyle g\,}$ неперервні на відрізку ${\displaystyle \,[a,b]}$ , причому ${\displaystyle \,f(a)<g(a)}$ та ${\displaystyle \,f(b)>g(b),}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в якій ${\displaystyle \,f(\xi )=g(\xi ).}$ Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ — топологічні простори, а ${\displaystyle f_{0}(x)}$ та ${\displaystyle f_{1}(x)}$ — неперервні функції, які відображають ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Відзначимо одиничний інтервал ${\displaystyle I}$ на дійсній прямій ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1.}$ Тоді функції ${\displaystyle f_{0}(x)}$ та ${\displaystyle f_{1}(x)}$ є гомотопними, якщо існує неперервна функція ${\displaystyle F(x,t)}$, яка відображає ${\displaystyle X\times I}$ у ${\displaystyle Y}$, для якої ${\displaystyle F(x,0)=f_{0}(x),}$ а ${\displaystyle F(x,1)=f_{1}(x).}$ Неперервна функція ${\displaystyle F(x,t)}$, яка описує неперервну деформацію функції ${\displaystyle f_{0}(x)}$ у ${\displaystyle f_{1}(x)}$, називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення ${\displaystyle n,}$ яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$, можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Довільні многочлени , раціональні функції , показові функції , логарифми , тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ задається формулою

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$

неперервна в будь-якій точці ${\displaystyle x\neq 0.}$ Точка ${\displaystyle x=0}$ є точкою усувного розриву, бо границя функції

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).}$

функція

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці ${\displaystyle x\neq 0}$.

Точка ${\displaystyle x=0}$ є точкою розриву першого роду , причому

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)}$, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція, яка визначається як

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

є всюди неперервна, крім точки ${\displaystyle x=0}$, де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці ${\displaystyle x=0}$ існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле - це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривної функцією , оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ (m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Функція ${\displaystyle f}$ називається рівномірно неперервної на ${\displaystyle E}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-яких двох точок ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ яких, що ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, виконується ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Кожна рівномірно неперервна на множині ${\displaystyle E}$ функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення - компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Існує дві симетричні одна до одної властивості - напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

• функція ${\displaystyle f}$ напівнеперервна знизу в точці ${\displaystyle a}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує така околиця ${\displaystyle U_{E}(a)}$, що ${\displaystyle f(x)>f(a)-\varepsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$;
• функція ${\displaystyle f}$ називається напівнеперервна зверху в точці ${\displaystyle a}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує такий окіл точки ${\displaystyle U_{E}(a)}$, що ${\displaystyle f(x)<f(a)+\varepsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$.

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

• якщо взяти функцію ${\displaystyle f}$, неперервну в точці ${\displaystyle a}$, і зменшити значення ${\displaystyle f(a)}$ (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ${\displaystyle a}$;
• якщо взяти функцію ${\displaystyle f}$, неперервну в точці ${\displaystyle a}$, і збільшити значення ${\displaystyle f(a)}$ на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці ${\displaystyle a}$.

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

• якщо ${\displaystyle f(a)=-\infty }$, то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці ${\displaystyle a}$;
• якщо ${\displaystyle f(a)=+\infty }$,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці ${\displaystyle a}$.

Функція ${\displaystyle f}$ називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці ${\displaystyle x_{0}}$ її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння: ${\displaystyle f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)}$ ${\displaystyle (f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).}$

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція ${\displaystyle f}$ така, що вона неперервна всюди на ${\displaystyle E}$, крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).