Теорема про рівнобедрений трикутник

Евклід доводить додатково, що якщо бічні сторони трикутника продовжити за основу, то кути між продовженнями і основою теж рівні. Тобто, ${\displaystyle \measuredangle CBF=\measuredangle BCG}$ на кресленні до доказу Евкліда.

Прокл вказує на те, що Евклід ніколи не використовує це додаткове твердження і його доказ можна трохи спростити, провівши допоміжні відрізки до бічних сторонах трикутника, а не до їх продовженням. Інша частина доказу, проходить майже без змін. Прокл, припустив, що другий висновок може бути використаний як обґрунтування в доказі наступної пропозиції, де Евклід не розглянув усі випадки.

Доказ Прокла

Доказ спирається на попереднє припущення в «Началах» — на те, що сьогодні називають ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними.

Доказ Прокла

Нехай ${\displaystyle \triangle ABC}$ — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$. Позначимо довільну точку ${\displaystyle D}$ на стороні ${\displaystyle AB}$ і побудуєм точку ${\displaystyle E}$ на стороні ${\displaystyle AC}$ так, щоб ${\displaystyle AD=AE}$. Проведемо відрізки ${\displaystyle DC}$, ${\displaystyle BE}$ і ${\displaystyle DE}$. Оскільки ${\displaystyle AD=AE}$, ${\displaystyle AB=AC}$ і кут ${\displaystyle \angle A}$ спільний, по рівності двох сторін і кута між ними, ${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$, а отже рівні їх відповідні сторони і кути. Звідси кут ${\displaystyle \measuredangle ABE=\measuredangle ACD}$ і ${\displaystyle \measuredangle AEB=\measuredangle ADC}$ і ${\displaystyle BE=CD}$. Оскільки ${\displaystyle AB=AC}$ і ${\displaystyle AD=AE}$, віднімання з рівних частин рівні одержуєм ${\displaystyle BD=CE}$. Застосовуючи знов ознаку рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними, одержуєм, що ${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$. Звідси ${\displaystyle \measuredangle BDE=\measuredangle CED}$ і ${\displaystyle \measuredangle BED=\measuredangle CDE}$. Віднімаючи з рівних частин рівні одержуємо ${\displaystyle \measuredangle BDC=\measuredangle CEB}$. Знов таки за цією ознакою, одержуємо, що ${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$. Отже ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$.

Прокл також наводить дуже короткий доказ, яке приписують Паппу. Він простіший і не вимагає додаткових побудов. У доказі застосовується ознака рівності по двох сторонах і куту між ними до трикутника і його дзеркального відображення.

Доказ Паппа

Нехай ${\displaystyle \triangle ABC}$ — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$. Оскільки кут ${\displaystyle \angle A}$ спільний ${\displaystyle AB=AC}$ по двох сторонах і куту між ними ${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle ACB}$. Зокрема, ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$, що і треба було довести

Доказ Паппа іноді збиває учнів тим, що потрібно порівнювати трикутник «з самим собою». Тому, часто у підручниках дається наступне більш складне доведення. Воно простіше ніж доказ Евкліда, але використовує поняття бісектриси. В «Началах» побудова бісектриси кута наводиться тільки в реченні 9. Тому порядок викладу доводиться міняти, щоб уникнути можливості кругового міркування.

Доведення

Нехай ${\displaystyle \triangle ABC}$ — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$. Проведемо бісектрису кута ${\displaystyle \angle A}$. Нехай ${\displaystyle X}$ — точка перетину бісектриси з стороною ${\displaystyle BC}$. Відзначим, що ${\displaystyle \triangle BAX\cong \triangle CAX}$ оскільки ${\displaystyle \measuredangle BAX=\measuredangle CAX}$, ${\displaystyle AB=AC}$ і ${\displaystyle AX}$ спільна сторона. Отже, ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$, що і треба було довести.

Лежандр використовує подібні конструкції в своїх «Éléments de géométrie», но, приймаючи ${\displaystyle X}$ як середину ${\displaystyle BC}$. Доведення аналогічно, но використовується ознака рівності трикутників по трьох сторонах.