Теорія Морса

Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.

Основні результати

Лема Морса.

Якщо множина $f^{-1}([a,b])$ компактна, не перетинається з краєм многовиду $M$ і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса $k$ , то $f^{-1}(b)$ діффеоморфна многовиду, отриманому з $f^{-1}(a)$ приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.

Кожній функції Морса $f$ $\text{[math]}$ на гладкому многовиді $M$ $\text{[math]}$ (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду $M$ $\text{[math]}$ клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції $f$ $\text{[math]}$ , причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
- Нерівність Морса.
- Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса $f:M\to R$ $\text{[math]}$ , що має в точности $m$ $\text{[math]}$ критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?
  - Випадок $m=1$ неможливий згідно з нерівностями Морса.
  - Випадок $m=2$ : Теорема Ріба про сферу стверджує, що $M$ гомеоморфно (але, взагалі кажучи, не дифеоморфно) сфері $S^{n}$ .
  - Випадок $m=3$ можливий тільки в деяких малих розмірностях, при цьому $M$ гомеоморфно многовиду Ілса — Кейпера.

Література

Милнор Дж. Теория Морса = Morse Theory. — М. : Мир, 1965. — 184 с.
Морс М. Вариационное исчисление в целом = The Calculus of Variations in the Large. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.