Многовид Ілса — Кейпера

Многовидом Ілса — Кейпера називається компактифікація евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$ сферою $S^{\frac {n}{2}}$ , де n = 2, 4, 8, та 16.

n = 2: многовид Ілса — Кейпера дифеоморфний дійсній проективній площині $\mathbb {R} P^{2}$ .

Для $n\geq 4$ він є однозв'язним і має когомологічну структуру

$n=4$ : комплексної проективної площини $\mathbb {CP} ^{2}$ ,
$n=8$ : кватерніонної проективної площини $\mathbb {H} P^{2}$ ,
n = 16: проективної площини Келі $\mathbb {O} P^{2}$ .

Многовиди Ілса — Кейпера грають важливу роль у теорії Морса і в теорії шарувань.

Властивості

Теорема Ілса — Кейпера.[1] Нехай $M$ зв'язний замкнутий многовид розмірності $n$ (не обов'язково орієнтовний). Припустимо, на $M$ існує функція Морса $f:M\to R$ класа гладкості $C^{3}$ , що має рівно три критичні точки. Тоді $n=$ 2, 4, 8 або 16 і $M$ є многовидом Ілса — Кейпера.

Теорема:[2] Нехай $M^{n}$ компактний зв'язний многовид, на якому задано морсовське шарування $F$ . Припустимо, що число $c$ центрів шарування $F$ більше числа сідлових точок $s$ . Тоді існує рівно дві можливості:
- $c=s+2$ , у цьому випадку $M^{n}$ гомеоморфно сфері $S^{n}$ ,
- $c=s+1$ , у цьому випадку $M^{n}$ є многовидом Ілса — Кейпера, причому $n=2,4,8$ і $16$ .

Див. також

Примітки

J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5-46.
C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065-4073

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.