Гомеоморфізм

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ і ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологічні простори.

Функція ${\displaystyle \ f:X\to Y}$ називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також ${\displaystyle \ f}$ і ${\displaystyle \ f^{-1}}$ неперервні.

Простори ${\displaystyle \ X}$ та ${\displaystyle \ Y}$ у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Нехай ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — бієкція.

Тоді ${\displaystyle \ f}$ є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \ f}$ є строго монотонна і неперервна на ${\displaystyle \ |a,b|}$.

Довільний відкритий інтервал ${\displaystyle ]a,b[\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфний всій числовій прямій ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гомеоморфізм ${\displaystyle f:]a,b[\to \mathbb {R} }$ задається, наприклад, формулою

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.

Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні групи гомологій збігатимуться.

Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий - ні.

Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені.

• Локальний гомеоморфізм