Теорія випадкових процесів

Теорія випадкових процесів — підрозділ математики (а саме теорії імовірностей), який займається вивченням випадкових процесів, їх властивостей та застосування. В рамках цієї теорії запроваджено концепцію інтеграла від випадкового процесу відносно випадкового процесу. Використовується для моделювання систем, які поводяться випадково.

Найбільш відомий випадковий процес — Вінерівський процес (названо на честь американського математика Норберта Вінера), поширена також назва Броунівський рух, хоча Вінерівський процес є теоретичною категорією і використовується для моделювання Броунівського руху, що і зробив Альберт Ейнштейн. Також Вінерівський процес використовується для моделювання різного роду дифузійних процесів у фізиці. З 70х років 20 століття Вінерівський процес набув у фінансовій математиці для моделювання прибутків від акцій та інших похідних цінних паперів, а також відсоткових ставок за опціонами.

Інтеграл Іто

Інтеграл Іто є центральним об'єктом вивчення стохастичного аналізу. Інтеграл $\int H\,dX$ визначений для напівмартингалів X і локально обмеженого передбачуваного (адаптованого) процесу H.

Інтеграл Стратоновича

Інтеграл Стратоновича напівмартингалу $X$ по іншому напівмартингалі Y може бути визначений через інтеграл Іто як

\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},

де [X, Y]_t^c позначення для квадратичної коваріації неперервної частини Xз неперервною частиною Y. Альтернативне позначення інтегралу Стратоновича

\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}.

Див. також

Гауссівський процес

Джерела

А. В. Скороход — Лекції з теорії випадкових процесів — 1990, Київ: Либідь. ISBN 5-11-001701-8

Література

Курс лекцій з теорії випадкових процесів / Ярослав Єлейко, Ірина Базилевич. – Львів : ЛНУ ім. І. Франка, 2016. – 164 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.