Тотожність Вальда

У теорій ймовірностей, рівняння Вальда, тотожність Вальда[1] або лема Вальда[2] — це важлива тотожність, яка спрощує обчислення математичного сподівання суми випадкової кількості випадкових величин. У своїй найпростішій формі воно пов'язує очікування суми випадкової кількості скінченних середніх, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних, з очікуваною кількістю доданків у сумі і спільним математичним сподіванням випадкових змінних за умови, що кількість доданків незалежна від доданків.

Базова версія

Нехай $(X n) n \inℕ$ буде послідовністю дійсно значимих, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних і нехай $N$ буде невід'ємною цілочисельною змінною, яка незалежна від послідовності $(X n) n \inℕ$ . Припустимо, що $N$ і $X n$ мають скінченні математичні сподівання. Тоді

\operatorname {E} [X_{1}+\dots +X_{N}]=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}]\,.

Приклад

Киньте шестигранну гральну кість. Візьміть число на кості (назвімо його $N$ ) і стільки разів киньте шестигранну кість, щоб отримати числа $X 1, . . . , X N$ , додайте їхні значення. Згідно з рівнянням Вальда, середнє вислідне значення становитиме

\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}\cdot {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}={\frac {441}{36}}=12.25\,.

Примітки

Janssen, Jacques; Manca, Raimondo (2006). Renewal Theory. Applied Semi-Markov Processes. Springer. с. 45–104. ISBN 0-387-29547-X. doi:10.1007/0-387-29548-8_2.
Thomas Bruss, F.; Robertson, J. B. (1991). 'Wald's Lemma' for Sums of Order Statistics of i.i.d. Random Variables. Advances in Applied Probability 23 (3): 612–623. JSTOR 1427625. doi:10.2307/1427625.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Janssen, Jacques; Manca, Raimondo (2006). Renewal Theory. Applied Semi-Markov Processes. Springer. с. 45–104. ISBN 0-387-29547-X. doi:10.1007/0-387-29548-8_2.

[2] Thomas Bruss, F.; Robertson, J. B. (1991). 'Wald's Lemma' for Sums of Order Statistics of i.i.d. Random Variables. Advances in Applied Probability 23 (3): 612–623. JSTOR 1427625. doi:10.2307/1427625.