Тотожність Капеллі

Тотожність Капеллі — аналог матричного співвідношення $\mathrm {det} (AB)=\mathrm {det} (A)\,\mathrm {det} (B)$ для диференціальних операторів з некомутуючими елементами, пов'язаних з представленням алгебри Лі ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Використовується для співвіднесення інваріанта ${\mathsf {f}}$ з інваріантом $\Omega {\mathsf {f}}$ , де $\Omega$ — це $\Omega$ -процес Келі. Названо за іменем Альфредо Капеллі, який встановив цей результат в 1887 році.

Формулювання

Нехай $x_{ij}$ для $i,j=1,\dots ,n$ — комутуючі змінні і $E$ — поляризаційний оператор:

E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}

.

Тотожність Капеллі стверджує, що такі диференціальні оператори, виражені як визначники, рівні:

{\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.

Обидві сторони цієї рівності - диференціальні оператори. Визначник в лівій частині має некомутуючі елементи, і при розкладанні зберігає порядок своїх множників зліва направо. Такий визначник часто називають визначником за стовпцями, так як він може бути отриманий за рахунок розкладання визначника за стовпцями, починаючи з першого стовпчика. Це може бути формально записано як

\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},

де в добутку першими йдуть елементи з першого стовпчика, потім з другого і так далі. Визначник в другому множнику правої частини рівності є Омега процес Келі, а в першому — визначник Капеллі.

Оператори E_ij можуть бути записані в матричній формі:

E=XD^{t},

де $E,X,D$ — матриці з елементами E_ij, x_ij, ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ відповідно. Якщо всі елементи в цих матрицях комутують, тоді очевидно $\det(E)=\det(X)\det(D^{t})$ .

Посилання

Capelli, Alfredo (1887). Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen. Mathematische Annalen (Berlin / Heidelberg: Springer) 29 (3): 331–338. ISSN 1432-1807. doi:10.1007/BF01447728.
Howe, Roger (1989). Remarks on classical invariant theory. Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 313 (2): 539–570. ISSN 0002-9947. JSTOR 2001418. MR 0986027. doi:10.2307/2001418.
Howe, Roger; Umeda, Toru (1991). The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions. Mathematische Annalen 290 (1): 565–619. doi:10.1007/BF01459261.
Umeda, Tôru (1998). The Capelli identities, a century after. Selected papers on harmonic analysis, groups, and invariants. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 183. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc. с. 51–78. ISBN 978-0-8218-0840-5. MR 1615137.
Weyl, Hermann (1946). The Classical Groups: Their Invariants and Representations. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05756-9. MR 0000255. Процитовано 03/2007/26.
Umeda, Toru (2000). On Turnbull identity for skew-symmetric matrices. Proc. Edinburgh Math. Soc. 43 (2): 379–393. doi:10.1017/S0013091500020988.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.