Трикутна потенційна яма

Трикутна потенційна яма

Це одна із найпростіших та найяскравіших елементарних квантових задач руху заряду в електричному полі, що розв'язуються аналітично. Основна її особливість полягає в тому, що в ній дискретизація виникає не в наслідок якихось властивостей поля, а внаслідок тривіального обрізання нескінченного 3Д- простору 2Д- площиною. Розглянемо потенціальну енергію ${\displaystyle U(x)}$ в наступному вигляді:

${\displaystyle U(x)={\begin{cases}eEx,&x\geq \;0\\+\infty ,&x<0\end{cases}}}$

де ${\displaystyle x}$- координата 3Д- простору, вздовж якої проводиться його обрізання площиною при де ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle e}$- заряд електрону, ${\displaystyle E}$- напруженість електричного поля, що визначає потенційну енергію.

Рівняння Шредінгера в даному одномірному випадку можна записати у вигляді:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(W-eEx)\psi =0.}$

Для спрощення подальшого розгляду введемо безрозмірну змінну у вигляді:

${\displaystyle \xi =(-x+{\frac {W}{eE}})({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}})^{1/2}.}$

Таким чином, отримаємо рівняння Шредінгера, яке не залежить від параметра енергії:

${\displaystyle \psi ''(\xi )+\xi \psi (\xi )=0.}$

Розв'язок даного рівняння є

${\displaystyle \psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (-\xi ),}$

де функції Ейрі визначені таким чином:

${\displaystyle \mathrm {Ai} (\xi )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }\cos({\frac {u^{3}}{3}}+u\xi )\,du}$

При русі в необмеженому просторі вже була визначена постійна інтегрування ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle C={\frac {(2m)^{1/2}}{F^{1/6}\hbar \;^{2/3}}}}$.

Основна особливість даної задачі полягає в тому, що при ${\displaystyle x=0}$ потенційна енергія різко зростає, і тому ми повинні для зшивання хвильових функцій використати умову:

${\displaystyle \psi (\xi _{j})=0,}$

де ${\displaystyle \xi _{j}}$- корені функції Ейрі. Можна привести перші 5-ть значень цих коренів: ${\displaystyle \xi _{1}=2,33810741}$, ${\displaystyle \xi _{2}=4,08794944}$, ${\displaystyle \xi _{3}=5,52055983}$, ${\displaystyle \xi _{4}=6,78670809}$, ${\displaystyle \xi _{5}=7,94413359}$.

Таким чином, ми маємо дискретний спектр енергій для трикутної потенційної ями у вигляді:

${\displaystyle W_{j}=\xi _{j}{\big [}{\frac {eE\hbar \;}{\sqrt {2m}}}{\big ]}^{2/3}}$

Оскільки між потенційною енергією та дискретним спектром справедливе наступне співвідношення у вузлових точках:

${\displaystyle U(x_{j})=eEx_{j}=W_{j}}$

тому ми можемо знайти значення координати ${\displaystyle x_{j}}$:

${\displaystyle x_{j}=\xi _{j}{\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{2meE}}{\big )}^{1/3}}$

Широкого розповсюдження дана задача набула в дослідженнях 2Д- систем електронного газу інверсних шарів на поверхні розділу діелектрик - напівпровідник.