Узагальнений розподіл Пуассона на локально компактній абелевій групі

Узагальнений розподіл Пуассона на локально компактній абелевій групі поширює поняття класичного розподілу Пуассона на прямій на локально компактні абелеві групи.

Нехай ${\displaystyle X}$ — локально компактна абелева група, ${\displaystyle Y}$її група характерів, ${\displaystyle (x,y)}$ — значення характеру ${\displaystyle y\in Y}$на елементі ${\displaystyle x\in X}$. Нехай ${\displaystyle F}$ — скінченна невід'ємна міра на ${\displaystyle X}$. Узагальненим розподілом Пуассона, асоційованим з мірою ${\displaystyle F}$, називається зсув розподілу ${\displaystyle e(F)}$ виду

${\displaystyle e(F)=\exp\{-F(X)\}\left(E_{0}+F+{F^{*}2 \over 2!}+\dots +{F^{*}n \over n!}+\dots \right)}$,

де ${\displaystyle E_{0}}$ − вироджений розподіл, зосереджений в нулі групи ${\displaystyle X}$.

Розподіл ${\displaystyle e(F)}$ — безмежно подільний. Характеристична функція розподілу ${\displaystyle e(F)}$ має вигляд

${\displaystyle {\widehat {e(F)}}(y)=\exp \left\{\int _{X}[(x,y)-1]dF(x)\right\}}$.