Абелева група

Основоположна теорема про структуру скінченної абелевої групи стверджує, що будь-яка скінченна абелева група може бути розкладена в пряму суму своїх циклічних підгруп, порядки яких є степенями простих чисел. Це наслідок загальної теореми про структуру скінченнопороджених абелевих груп для випадку, коли група не має елементів нескінченного порядку. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ ізоморфна прямій сумі ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ і ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ взаємно прості.

Отже, можна записати абелеву групу ${\displaystyle G}$ у формі прямої суми

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$

двома різними способами:

• Де числа ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}$ ступені простих
• Де ${\displaystyle k_{1}}$ ділить ${\displaystyle k_{2}}$, яка ділить ${\displaystyle k_{3}}$, і так далі до ${\displaystyle k_{u}}$.

Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}$ може бути розкладена в пряму суму двох циклічних підгруп порядків 3 та 5: ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}$. Те ж можна сказати про будь-яку абелеву групу порядку 15, приходимо до висновку, що всі абелеві групи близько 15 ізоморфні.

Повний опис відомий також для скінченнопороджених абелевих груп. Його дає основна теорема про абелеві групи із скінченним числом твірних: всяка скінченно породжена абелева група розкладається в пряму суму скінченного числа нерозкладних циклічних підгруп, з яких частина — скінченні примарні, частина — нескінченні. Такий розклад не є єдиним, але будь-які два розклади абелевих груп з скінченним числом твірних в пряму суму нерозкладних циклічних груп ізоморфні між собою і, таким чином, число нескінченних циклічних доданків і сукупність порядків примарних циклічних доданків не залежить від вибору розкладу. Ці числа, називаються інваріантами скінченнопородженої абелевої групи, вони є повною системою інваріантів в тому розумінні, що довільні дві групи, для яких ці інваріанти рівні, є ізоморфними. Всяка підгрупа абелевої групи з скінченним числом твірних сама має скінченну систему твірних.

Скінченна множина елементів ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ абелевої групи називається лінійно залежною, якщо існують такі цілі числа ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$, не всі рівні нулю, що ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}g_{i}=0.}$ Якщо таких чисел не існує, то ця множина називається лінійно незалежною. Довільна система елементів абелевої групи називається лінійно залежною, якщо лінійно залежна деяка скінченна її підсистема. Абелева група, що не є періодичною, володіє максимальними лінійно незалежними системами. Потужності всіх максимальних лінійно незалежних підсистем однакові і називаються рангом (Прюфера) даної абелевої групи. Ранг періодичної групи вважається рівним нулю. Ранг вільної абелевої групи рівний потужності системи її твірних. Всяка абелева група без кручення рангу I ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи раціональних чисел.

Абелеві групи без кручення, розкладаються в пряму суму груп рангу 1, що називаються цілком розкладними. Не всяка підгрупа цілком розкладної групи буде цілком розкладною (але всякий прямий доданок). Для всякого цілого n існує абелева група без кручення рангу n, нерозкладна в пряму суму. Для зліченних абелевих груп без кручення може бути побудована повна система інваріантів.

Абелева група називається повною, якщо для будь-якого її елементу a і будь-якого цілого n в ній рівняння nx = a має розв'язок. Всі повні абелеві групи вичерпуються прямими сумами груп, ізоморфних ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і групам ${\displaystyle \mathbb {Z} -{p^{\infty }}}$, причому потужності множин компонент, ізоморфних ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, а також ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{\infty }}}$ (для кожного простого числа) утворюють повну і незалежну систему інваріантів повної групи. Довільна абелева група може бути ізоморфно вкладена в деяку повну абелеву групу. Повні абелеві групи і лише вони є ін'єктивними об'єктами в категорії абелевих груп. Таким чином, довільна абелева група подається у вигляді прямої суми повної групи і так званої редукованої групи, тобто групи, що не містить ненульових повних підгруп.