Факторіон
Факторіон — натуральне число, яке дорівнює сумі факторіалів своїх цифр.
Повний список факторіонів
Верхня межа
Визначивши верхню межу для факторіонів, нескладно (наприклад, повним перебором) показати, що існує рівно 4 таких числа.
Будь-яке n-значне число не менше від. Однак при цьому сума факторіалів його цифр не більша від , де . Оскільки перше число зростає швидше, ніж друге (перше залежить від n експоненціально, а друге — лінійно), а вже . Отже всі факторіони складаються не більше, ніж з 7 цифр. Навіть точніше — вони менші від .
Аналогічні міркування допомагають довести скінченність числа багатьох узагальнених факторіонів (див. нижче).
Узагальнення
В інших системах числення
Таблиця факторіонів у системах числення до шістнадцяткової:
| Основа | Максимальна кількість цифр | Факторіони |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 1, 10 |
| 3 | 2 | 1, 2 |
| 4 | 3 | 1, 2, 13 |
| 5 | 3 | 1, 2, 144 |
| 6 | 4 | 1, 2, 41, 42 |
| 7 | 5 | 1, 2 |
| 8 | 5 | 1, 2 |
| 9 | 6 | 1, 2, 62558 |
| 10 | 7 | 1, 2, 145, 40585 |
| 11 | 8 | 1, 2, 24, 44, 28453 |
| 12 | 8 | 1, 2 |
| 13 | 9 | 1, 2, 83790C5B |
| 14 | 10 | 1, 2, 8B0DD409C |
| 15 | 11 | 1, 2, 661, 662 |
| 16 | 11 | 1, 2, 260F3B66BF9 |
k-факторіони
k-факторіон — число, що дорівнює сумі факторіалів своїх цифр, помноженій на k. Тоді звичайні є 1-факторіонами.
Повні списки k-факторіонів:
- k = 2: 817926
- k = 3: 138267, 1103790
- k = 4: 12, 32, 104, 23076
- k = 5: 10
Узагальнення Піковера
В своїй книзі «Keys to Infinity» Кліфорд Піковер (англ. Clifford A. Pickover) (1995) запропонував такі узагальнення:
- Факторіон першого роду — дорівнює добутку факторіалів своїх цифр.
- Факторіон другого роду — при додаванні факторіалів число можна розбивати не тільки на цифри, а й на підчисла.
Обидва визначення породжують значно більші числа, ніж звичайне визначення. Хоча факторіони першого роду в десятковій системі тільки вироджені — 1 і 2, знайдено кілька факторіонів другого роду (жирним виділені єдині угруповання цифр):
- 2 432 902 008 177 819 519
- 51 090 942 171 710 544 079 і 51 090 942 171 710 982 398
- 403 291 461 126 605 635 584 809 043 і 403 291 461 126 605 635 584 814 796
Для узагальнень обох типів невідомо, чи скінченне число відповідних факторіонів.
Література
- Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
- Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
- Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
- С. Л. Василенко. Числовые совпадения. — 2012.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Факторион(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- послідовність A014080 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS