Система числення

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке не від'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування не від'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.

Розрізняють такі типи систем числення:

позиційні
змішані
непозиційні

Історія виникнення систем числення

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті нижче, тому що вони складають на сьогодні основу теорії систем числення взагалі.

Позиційна система

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу $b$ , $b>1$ , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число ( $b>1$ ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

x=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}

, де

a_{k}

— цілі,

0\leq a_{k}<b

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

204=2\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+4\cdot 10^{0}

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою $b$ і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ і кожне число $x$ представляється як лінійна комбінація:

x=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}

, де на коефіцієнти

a_{k}

(цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо $b_{k}=b^{k}$ для деякого $b$ , то змішана система збігається з $b$ -основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$ секунд.

Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

x=\sum _{k=0}^{n}f_{k}F_{k}

, де

F_{k}

— числа Фібоначчі,

f_{k}\in \{0,1\}

, при цьому у записі

f_{n}f_{n-1}\dots f_{0}

не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуральних чисел:

x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!

, де

0\leq d_{k}\leq k

.

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}

, де

0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}

.

Система числення майя

Майя використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

Непозиційна система

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви:


Римська цифра	Десяткове значення
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологіях застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.