Формула Діріхле

Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формула[1]

\sum _{n\leqslant N}\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O({\sqrt {N}}),

де $\tau (n)$ — число дільників $n$ , $\gamma$ — постійна Ейлера — Маськероні, а $O$ — O-велике.

Формула була отримана Діріхле в 1849.

Доведення

Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою $yx=N$ та осями координат.

Уточнення

В 1906 році доданок $O\left(N^{\theta }\right)$ був уточнений Серпінським до $O({\sqrt[{3}]{N}})$ , тобто $\theta =1/3$ [1]. Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат $\theta ={\frac {131}{416}}$ (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення $\theta$ , при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ${\frac {1}{4}}$ ).[2][1][3]

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як ${\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}$ , що було виявлено А. Карацубою[4]. З комп'ютерних оцінок М. Корольова $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067$ .

Примітки

Аналітична теорія чисел^{[недоступне посилання з жовтня 2019]}
А. А. Бухштаб. Теорія чисел. — М. : Просвіта, 1966.
Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
В. І Арнольд. Динаміка, статистика та проективна геометрія полів Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — С. 70.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[dic-1] Аналітична теорія чисел^{[недоступне посилання з жовтня 2019]}

[2] А. А. Бухштаб. Теорія чисел. — М. : Просвіта, 1966.

[3] Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[Arnold-4] В. І Арнольд. Динаміка, статистика та проективна геометрія полів Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — С. 70.