Функція витрат (мікроекономіка)

Двоїста задача споживача полягає у виборі такого набору благ ${\displaystyle h}$, щоб його корисність була не меншою від заданої корисності (корисності заданого набору ${\displaystyle x}$), а сукупні витрати ${\displaystyle ph}$ були мінімальними (${\displaystyle p}$ — вектор цін на блага). Тобто

${\displaystyle ph\rightarrow min,\{h\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(h)\geq u^{*}(x)\}}$

Розв'язок цієї задачі — ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ — попит Гікса.

Функцією витрат ${\displaystyle e(p,u^{*})}$ називають залежність витрат на придбання набору ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ від ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle u^{*}}$, тобто:

${\displaystyle e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})}$

Оскільки розв'язок двоїстої задачі споживача досягається на межі допустимої множини, тобто ${\displaystyle u(h)=u^{*}(x)}$, то іноді як аргумент функції витрат використовують не значення корисності ${\displaystyle u^{*}}$, а споживчий набір ${\displaystyle x}$, корисність якого дорівнює ${\displaystyle u^{*}}$, тобто:

${\displaystyle e(p,x)=ph(p,u(x))}$

За деяких слабких припущень (неокласичні неперервні переваги споживача) функція витрат є неперервною функцією і за вектором ${\displaystyle p}$ — увігнутою (опуклою вгору), однорідною першого степеня і не спадною функцією. Крім того, можна показати, що, якщо набір ${\displaystyle x}$ «не гірший» від набору ${\displaystyle y}$ у сенсі нестрогого відношення переваги, то ${\displaystyle e(p,x)\geqslant e(p,y)}$.

Попит Гікса дорівнює частковіій похідній функції витрат за цінами (лема Шепарда).

• Лема Шепарда