Відношення переваги

Множина допустимих альтернатив, на якій задається відношення переваги, може мати довільну, не обов'язково числову природу (див., наприклад, Парадокс Кондорсе). Однак найчастіше розглядають підмножини в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$, які описуються числовими значеннями.

Нехай ${\displaystyle l=1,2,...L}$ — доступні блага, які є нескінченно подільними. Кожна альтернатива (споживчий набір) описується впорядкованим набором ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{L})}$ і може бути ототожненою з точкою простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$. Множина всіх фізично допустимих наборів називається множиною допустимих альтернатив. Множина допустимих альтернатив загалом не збігається з ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$ і може бути його невласною підмножиною ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{L}}$. Наприклад, можна припустити, що споживач робить вибір в невід'ємної ділянки ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{L}}$.

Відношення (слабкої, нестрогої) переваги ${\displaystyle \{\succeq \}}$ є бінарним повним (лінійним) відношенням передпорядку на множині допустимих альтернатив ${\displaystyle X}$, тобто має властивості:

1. Повнота: ${\displaystyle \forall x,y\in X,x\succeq y\lor y\succeq x}$
2. Транзитивність: ${\displaystyle \forall x,y,z\in X}$ виконується ${\displaystyle x\succeq y\land y\succeq z=>x\succeq z}$

Із цих двох властивостей безпосередньо випливає також рефлексивність цього відношення, тобто ${\displaystyle \forall x\in X,x\succeq x}$.

Пара ${\displaystyle (X,\succeq )}$ називається полем переваг. Запис ${\displaystyle x\succeq y}$ означає, що споживач надає перевагу набору ${\displaystyle x}$ порівняно з набором ${\displaystyle y}$ або ці набори є рівноцінними для споживача; читається так: «${\displaystyle x}$ переважає над (або не гірший від, слабко кращий від) ${\displaystyle y}$», «${\displaystyle x}$ слабко переважає над ${\displaystyle y}$» або «${\displaystyle x}$ не гірший від ${\displaystyle y}$».

Відношення строгої переваги ${\displaystyle \{\succ \}}$ визначається як бінарне відношення строгого порядку на множині допустимих альтернатив. Його можна визначити двома еквівалентними способами:

1. Асиметричність і від'ємна транзитивність:

• Асиметричність, тобто якщо істинне ${\displaystyle x\succ y}$, то хибне ${\displaystyle y\succ x}$
• Від'ємна транзитивність, тобто якщо одночасно хибні ${\displaystyle x\succ y}$ і ${\displaystyle y\succ z}$, то хибне і ${\displaystyle x\succ z}$

2. Іррефлексивність і транзитивність

• Іррефлексивність, тобто не існує такого ${\displaystyle x\in X}$, що ${\displaystyle x\succ x}$
• Транзитивність: ${\displaystyle x\succ y\land y\succ z=>x\succ z}$

Запис ${\displaystyle x\succ y}$ означає, що набір ${\displaystyle x}$ для споживача кращий від набору ${\displaystyle y}$, читається як «x строго переважає y», «x краще від y».

Відношення байдужості ${\displaystyle \{\sim \}}$ визначається як відношення еквівалентності на множині допустимих альтернатив, тобто задовольняє таким аксіомам:

• Рефлексивність: ${\displaystyle \forall x,x\sim x}$

• Симетричність: ${\displaystyle \forall x,y,x\sim y<=>y\sim x}$

• Транзитивність: ${\displaystyle \forall x,y,z,x\sim y\land y\sim z<=>x\sim z}$

Запис ${\displaystyle x\sim y}$ означає, що ці набори є рівноцінними для споживача, читається як «x рівноцінне y», «x перебуває у відношенні байдужості до y».

Як і будь-яке відношення еквівалентності, відношення байдужості розбиває множину допустимих альтернатив на непересічні класи байдужості, кожен з яких складається з попарно еквівалентних (байдужих) наборів.

Слід зауважити, що визначене так відношення байдужості може виділити вельми неоднорідні класи еквівалентності. По-перше, це можуть бути реально (з точки зору споживача) еквівалентні набори. По-друге, це можуть бути непорівнянні альтернативи, між якими в такому випадку формально матиме місце відношення байдужості (бо немає критерію за яким можна надати перевагу одному з непорівнянних наборів). По-третє, байдужість також може бути пов'язана з відсутністю достатньої інформації про альтернативи.

Система переваг (${\displaystyle \sim ,\succ ,\succeq }$), що включає визначені вище відношення байдужості, строге і нестроге відношення переваги називається неокласичною, якщо вони взаємопов'язані «природно». У разі, якщо за основу взяти строге відношення переваги, то цей взаємозв'язок можна висловити так.

1. Нестрога перевага еквівалентна запереченню оберненої строгої переваги (тобто ${\displaystyle x}$ «не гірше від» ${\displaystyle y}$ еквівалентне тому, що ${\displaystyle y}$ не «краще від» ${\displaystyle x}$)

2. Відношення байдужості еквівалентне запереченню прямої й оберненої строгих переваг (тобто байдужість означає, що ${\displaystyle x}$ не «краще від» і не «гірше від» ${\displaystyle y}$).

Якщо ж за основу брати нестроге відношення переваги, то відповідно:

1. Строга перевага еквівалентна тому, що має місце нестрога перевага і хибна обернена нестрога перевага, тобто: ${\displaystyle x\succ y<=>x\succeq y\land \lnot (y\succeq x)}$.

2. Відношення байдужості еквівалентне одночасній істинності «прямого» і «оберненого» відношень нестрогої переваги: ${\displaystyle x\sim y<=>x\succeq y\land y\succeq x}$

Для неокласичних уподобань виконуються такі властивості

• ${\displaystyle \forall x,y\in X}$ виконується рівно одне з відношень ${\displaystyle x\sim y,x\succ y}$ або ${\displaystyle y\succ x}$.
• ${\displaystyle x\succeq y\land y\succ z=>x\succ z}$
• ${\displaystyle x\succ y\land y\succeq z=>x\succ z}$

Перевага, що задовольняє властивостям повноти і транзитивності називається раціональною. З інтуїтивної точки зору раціональна перевага описує здатність споживача до внутрішньо узгодженого, несуперечливого вибору. Вона є необхідною (але не достатньою) умовою існування функції корисності.