Функція належності

Для простору міркувань ${\displaystyle \mathbf {X} \ }$ та даної функції належності ${\displaystyle \mu$ :\mathbf {X} \to [0,1]} нечітка множина визначається як

${\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in \mathbf {X} \}.}$

Функція належності ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ кількісно градуює належність елементів фундаментальної множини простору міркувань ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$ нечіткій множині ${\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}}$. Значення ${\displaystyle 0\ }$ означає, що нечітка множина не включає у себе цей елемент, ${\displaystyle 1\ }$ описує повну належність елементу. Значення між ${\displaystyle 0\ }$ та ${\displaystyle 1\ }$ характеризують нечітко включені елементи.

Нечітка множина називається нормальною, якщо для її функції належності ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ справедливе твердження, що існує такий ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$, щоб ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1\ }$.

Функція належності класу s

Функція належності класу s визначається як:

${\displaystyle s\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\2\left({{x-a} \over {c-a}}\right)^{2},&a\leqslant x\leqslant b,\\1-2\left({{x-c} \over {c-a}}\right)^{2},&b\leqslant x\leqslant c,\\1,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

де ${\displaystyle b={{a+c} \over {2}}}$.

Функція належності класу π

Функція належності класу π визначається через функцію класу s:

${\displaystyle \pi \left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}s\left(x;c-b,c-{b \over 2},c\right),&x\leqslant c,\\1-s\left(x;c,c+{b \over 2},c+b\right),&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

де ${\displaystyle b={{a+c} \over {2}}}$.

Функція належності класу γ

Функція належності класу γ визначається як:

${\displaystyle \gamma \left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\1,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.}$

Функція належності класу t

Функція належності класу t визначається як:

${\displaystyle t\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\{{c-x} \over {c-b}},&b\leqslant x\leqslant c,\\0,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.}$

Функція належності класу L

Функція належності класу L визначається як:

${\displaystyle L\left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\leqslant a,\\{{b-x} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\0,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.}$

• Fuzzy Image Processing

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1