Нечітка множина

Нехай ${\displaystyle \mho }$ — множина (класична). Нечітка множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ задається своєю функцією належності:

${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]}$

Порожня множина ${\displaystyle \mu _{\varnothing }(x)=0}$, універсальна множина ${\displaystyle \mu _{\mho }(x)=1}$.

Якщо ${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }}$ набуває значень ${\displaystyle \{0,1\}}$, то множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — це класична підмножина, ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mho }$, в іншому випадку множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ є нечіткою. Можна казати, що ${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }(x)}$ — це ступінь належності елемента ${\displaystyle x}$ до множини ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Носій нечіткої множини ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — це

${\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }>0\right\}}$

Множина рівня ${\displaystyle \alpha }$, де ${\displaystyle \alpha \in [0;1]}$ — це

${\displaystyle \mathbf {A} _{\alpha }=\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }\geq \alpha \right\}}$

Тоді

${\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\bigcup _{\alpha >0}\mathbf {A} _{\alpha }}$

Якщо ${\displaystyle \mho \subseteq \mathbb {R} }$, то зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами.

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу ${\displaystyle X\in \mathbb {X} }$ відповідає елемент ${\displaystyle y\in \mathbb {Y} }$.

Коли функцію f : ${\displaystyle X\to \mathbb {Y} }$ називають відображенням, значення ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Y} }$, якого вона набуває на елементі ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$, звичайно називають образом елемента x.

Образом множини ${\displaystyle A\in \mathbb {X} }$ при відображенні ${\displaystyle c\in \mathbb {Y} }$ називають множину ${\displaystyle f(A)\in \mathbb {Y} }$ тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображення— це відображення виду:

${\displaystyle \varphi$ :\quad \mathbf {X} _{1}\times \mathbf {X} _{2}\times \cdots \times \mathbf {X} _{n}\to \mathbf {Y} }

Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.

Тобто, якщо ${\displaystyle ~\mu _{k}(x_{k})}$ — функція належності множини ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$ та нехай

${\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {Y} ,\quad \mathbf {A} _{1}\subset \mathbf {X} _{1},\quad \mathbf {A} _{2}\subset \mathbf {X} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathbf {A} _{n}\subset \mathbf {X} _{n}}$

Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

${\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }=\mathrm {supp} _{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbf {X} }\min {\Big (}\mu _{1}(x_{1})\mu _{2}(x_{2})\ldots \mu _{n}(x_{n})\mu _{\varphi }(x_{1}\ldots x_{n}y){\Big )}}$

Або:

${\displaystyle \mu _{\varphi (x_{1}\ldots x_{n})}=\mathrm {supp} _{x_{1},\ldots ,x_{n} \atop \varphi (x_{1}\ldots x_{n})}\min {\Big (}\mu _{a_{1}}(x_{1}),\ldots ,\mu _{a_{n}}(x_{n}){\Big )}}$

• О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ.
• В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс].