Фільтр низьких частот

Ефект рекурсивного фільтру низьких частот можна повторити на комп'ютері якщо проаналізувати поведінку RC фільтру в часовій області і після того дискретизвувати модель.

Простий RC-фільтр низьких частот

Із діаграми електричного кола, що праворуч, відповідно до Законів Кірхгофа і визначення ємності маємо:

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)}$

(V)

${\displaystyle Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)}$

(Q)

${\displaystyle i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}}$

(I)

де ${\displaystyle Q_{c}(t)}$ це заряд, що накопичується на ємності у момент часу ${\displaystyle \scriptstyle t}$. Підстановка рівняння Q у рівняння I дасть ${\displaystyle \scriptstyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$, що в свою чергу можна підставити в рівняння V, таким чином:

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

Це рівняння можна дискретизувати. Для простоти, припустимо що інтервали часу входу і виходу розподілені рівномірно в часі і мають довжину ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{T}}$. Нехай інтервали для ${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{in}}}$ задаються послідовністю ${\displaystyle \scriptstyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$, а інтервали ${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{out}}}$ задаються послідовністю ${\displaystyle \scriptstyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$, що відповідають однаковим точкам у часі. Виконавши ці підстановки:

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}}$

І перевпорядкувавши ці терми, отримаємо рекурентне співвідношення

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

Це реалізація у дискретному часі простого RC фільтра низьких частот із експоненційно згладженим рухомим середнім

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{де}}\qquad \alpha$ :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}}

За визначенням, коефіцієнт згладжування ${\displaystyle \scriptstyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$. Вираз для ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ дозволяє отримати еквівалент для дискретного часту ${\displaystyle \scriptstyle RC}$ для сталого періоду ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{T}}$ і коефіцієнта згладжування ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$:

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right)}$

Пригадавши, що

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ звідси ${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}$

тоді ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle f_{c}}$ співвідносяться як:

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

і

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}}$.

Якщо ${\displaystyle \alpha \;=\;0.5}$, стала ${\displaystyle RC}$ дорівнює довжині інтервалів. Якщо ${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$, тоді ${\displaystyle RC}$ набагато більша за інтервал, і ${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$.

Рекурсивне рівняння для фільтра дозволяє розрахувати вихідні значення за даними інтервалами на основі вхідних значень і значення виходу на попередньому інтервалі. Наступний алгоритм на псевдокоді алгоритм моделює роботу фільтру низьких частот на послідовності цифрових даних:

 // Return RC low-pass filter output samples, given input samples,
 // time interval dt, and time constant RC
 function lowpass(real[0..n] x, real dt, real RC)
   var real[0..n] y
   var real α := dt / (RC + dt)
   y[0] := α * x[0]
   for i from 1 to n
       y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1]
   return y

Цикл, який підраховує кожний результат для n можна спростити у його еквівалент:

   for i from 1 to n
       y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

Це означає, що зміна одного вихідного відліку фільтру до значення наступного відліку пропорційна різниці між попереднім результатом і наступним входом.