Характеристична підгрупа
Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму групи і для кожного елемента виконуєься .
Властивості
- Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.
- Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))
- Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.
- Для деякого визначимо внутрішній автоморфізм таким чином: Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що тобто є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких тобто є нормальною.
- Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.
- Доводиться ідентично до попереднього з заміною на довільний автоморфізм.
Приклади
- Будь-яка підгрупа циклічної групи характеристична.
- Центр групи є характеристичною підгрупою.
- Дійсно нехай деякий автоморфізм групи і деякий елемент, що належить центру групи. Тоді і оскільки то маємо .
- Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою.
Див. також
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.