Центр групи

• Z(G) є підгрупою групи G:

Нейтральний елемент належить центру, ${\displaystyle e\in Z(G),}$ оскільки ${\displaystyle eg=g=ge,\quad \forall g\in G}$;

Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо ${\displaystyle x,y\in Z(G)}$ тоді ${\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy),\forall g\in G}$, отже ${\displaystyle xy\in Z(G)}$;

Обернений до елемента центра належить центру. Якщо ${\displaystyle e\in Z(G),}$ то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x^-1 одержимо x⁻¹g = gx⁻¹, звідки ${\displaystyle x^{-1}\in Z(G).}$

• Підгрупа ${\displaystyle \ Z(G)}$ є абелевою і нормальною.

• Факторгрупа ${\displaystyle \ G/Z(G)}$ ізоморфна групі внутрішніх автоморфізмів групи G, тобто групі відображень:${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}$

Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φ_g. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо ${\displaystyle g\in Z(G),}$ то ${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}=hgg^{-1}=h,\forall h\in G\,}$ тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді ${\displaystyle \exists h\in G,}$ що ${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}\neq hgg^{-1}=h}$ тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:

${\displaystyle G/Z(G)\cong {\rm {{Inn}(G).}}}$

• Якщо факторгрупа ${\displaystyle \ G/Z(G)}$ циклічна, то G  — абелева.

Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого ${\displaystyle g\in Z(G)}$ виконується рівність ${\displaystyle G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle }$ тому ${\displaystyle G=Z(G)\langle g.\rangle }$ Зважаючи, що група ${\displaystyle \langle g\rangle }$ є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

• Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць: ${\displaystyle \{sI_{n}|s\in F\setminus \{0\}\}.}$
• Групи перестановок (симетричні групи) S_n для n ≥ 3 є групами без центру.
• Групи парних перестановок (знакозмінні групи) A_n для n ≥ 4 є групами без центру.
• Прості неабелеві групи є групами без центру.

Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Визначимо послідовність підгруп:

${\displaystyle G_{0}=G,G_{1}=G_{0}/Z(G_{0}),G_{2}=G_{1}/Z(G_{1})\cdots }$

Ядро відображення ${\displaystyle G\to G_{i}}$ називається i-тим центром групи G і позначається ${\displaystyle Z^{i}(G)}$. Послідовність:

${\displaystyle 1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots }$

стабілізується (${\displaystyle Z^{i}(G)=Z^{i+1}(G)}$)тоді й лише тоді коли ${\displaystyle G_{i}}$ є групою без центру.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)