Підгрупа
Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в .
Група (математика) |
---|
Теорія груп |
Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Теорема Лагранжа |
Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:
- містить добуток будь-яких двох елементів з ,
- містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент .
У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.
Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова:
Приклади
- Підмножина групи , що складається з одного елементу , буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи .
- Сама також є своєю підгрупою.
- Нехай G абелева група елементами якої є
і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.
Пов'язані визначення
- Сама група і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
- Перетин всіх підгруп групи , що містять всі елементи деякої непорожньої множини , називається підгрупою, породженою множиною , і позначається .
- Якщо складається з одного елемента , то називається циклічною підгрупою елемента .
- Якщо група ізоморфна деякій підгрупі групи , то кажуть, що група може бути вкладена в групу .
Властивості
- Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи є підгрупою групи .
- Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп і називається підгрупа, породжена об'єднанням множин .
- Нехай — гомоморфізм груп. Тоді якщо є підгрупою , то є підгрупою . Якщо є підгрупою , то є підгрупою .
- Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.
Див. також
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)