Центровані багатокутні числа

Центровані багатокутні числа — це клас плоских ${\displaystyle k}$-кутних фігурних чисел (${\displaystyle k\geqslant 3}$), одержуваних такою геометричною побудовою. Спочатку на площині фіксується певна центральна точка. Потім навколо неї будується правильний ${\displaystyle k}$-кутник з ${\displaystyle k}$ точками вершин, кожна сторона містить дві точки (див. малюнок). Далі зовні будуються нові шари ${\displaystyle k}$-кутників, причому кожна їхня сторона на новому шарі містить на одну точку більше, ніж у попередньому шарі, тобто, починаючи з другого шару, кожен наступний шар містить на ${\displaystyle k}$ більше точок, ніж попередній. Загальне число точок усередині кожного шару і приймається за центроване багатокутне число (точка в центрі вважається початковим шаром)[1].

Приклади побудови центрованих багатокутних чисел:

Трикутні	Квадратні	П'ятикутні	Шестикутні

З побудови видно, що центровані багатокутні числа виходять як часткові суми такого ряду: ${\displaystyle 1+k+2k+3k+4k+\dots }$ (наприклад, центровані квадратні числа, для яких ${\displaystyle k=4,}$ утворюють послідовність: ${\displaystyle 1,5,13,25,41\dots }$) Цей ряд можна записати як ${\displaystyle 1+k(1+2+3+4+\dots ).}$, звідки видно, що в дужках — породжувальний ряд класичних трикутних чисел. Отже, кожну послідовність центрованих ${\displaystyle k}$-кутних чисел, починаючи з 2-го елементу, можна подати як ${\displaystyle kT_{n}+1,}$ де ${\displaystyle T_{n}(n=1,2,3\dots )}$ — послідовність трикутних чисел. Наприклад, центровані квадратні числа — це помножені на 4 трикутні числа плюс 1, породжувальний ряд для них має вигляд: ${\displaystyle 1+4+8+12\dots }$[2]

Загальна формула для ${\displaystyle n}$-го центрованого ${\displaystyle k}$-кутного числа ${\displaystyle C_{n}^{(k)}}$:

${\displaystyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}};\ n=1,2,3\dots }$

({{{3}}})