Ряд (математика)

Числовий ряд — числова послідовність, яку розглядають разом з іншою послідовністю, котра називається послідовністю часткових сум (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду.

Довгий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено із виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахіла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить вслід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким чином такого моменту не існує. Зено розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, таким чином, що загальний час за який Ахілл добіжить до черепахи заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом за який Ахілл наздожене і упіймає черепаху.

В сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ із термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання $a_{i}$ між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді наступного математичного виразу

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,

або, із використанням знаку суми,

\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.

У загальному випадку поняття ряду виникло із поняття кільця, що часто є полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел або полем $\mathbb {C}$ комплексних чисел. В такому випадку множина всіх рядів сама по собі є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), в якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.

Визначення

Нехай $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — числова послідовність; розглянемо нарівні с даною послідовністю послідовність

\{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },

кожен елемент якої уявляє собою суму перших k членів вихідної послідовності, що називається частковою сумою виду:

s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Взагалі, для позначення ряду використовується символ:

\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},

оскільки тут вказана вихідна послідовність елементів ряду, а також правило підсумовування. Відповідно до цього, говориться про збіжність числового ряду:

Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя $S$ послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},

Операції над рядами

Нехай задані ряди $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ і $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ , що збігаються. Тоді:

Їх сумою називається ряд $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})$
Їх добутком за Коші називається ряд $\sum c_{n}$ , де $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Якщо обидва ряди збігаються, то їх сума збігається. Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Критерій абсолютної збіжності

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Приклади числових рядів

Геометричний ряд це такий ряд, в якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що називається сталим відношенням ряду). Наприклад:

1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.

В загальному випадку, геометричний ряд

\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}

збігається, тоді і тільки тоді, коли

{\textstyle |z|<1}

.

Арифметично-геометричний ряд це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:

3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.

Гармонічний ряд це ряд виду

1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.

Гармонічні ряди є розбіжними.

Знакозмінний ряд це ряд в якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad

(знакозмінний гармонічний ряд)

і

-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}

Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}

збігається коли p > 1 і є розбіжним коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є Дзета-функцією Рімана.

Телескопічний ряд:

\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})

збігається якщо послідовність b_n збігається до границі L при тому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b₁ − L.

π

Апроксимація числа π за допомогою ряду

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi

Натуральний логарифм двійки 2

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln(2)-1

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2

Натуральний логарифм з основою e

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e

Література

Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
Ю. С. Богданов. «Лекции по математическому анализу» — Часть 2. — Минск : Издательство БГУ им. В. И. Ленина, 1978.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.