Центроване квадратне число

Центроване квадратне число — це центроване багатокутне число, яке подає квадрат з точкою в центрі і всі інші навколишні точки, розташовані на квадратних шарах.

Таким чином, кожне центроване квадратне число дорівнює числу точок всередині даної відстані в кварталах від центральної точки на квадратній решітці. Центровані квадратні числа, як і інші фігурні числа, мають мало практичних застосувань, якщо взагалі мають, але вони вивчаються в цікавій математиці за елегантні геометричні та арифметичні властивості.

Фігури для перших чотирьох центрованих квадратних чисел показано нижче:

   

   



   





           

Зв'язок з іншими фігурними числами

n-не центроване квадратне число задається формулою

Іншими словами, центроване квадратне число — це сума двох послідовних квадратів. Такі діаграми демонструють формулу:

   

   



   





           

Формулу можна подати так

таким чином, n-не центроване квадратне число дорівнює половині n-го непарного квадрата + 1/2, що проілюстровано нижче:

   

   



   





           

Як і інші центровані полігональні числа, центровані квадратні числа можна виразити через трикутні числа:

де

є n-не трикутне число. Це легко побачити, якщо просто видалити центральну точку і розділити решту на чотири трикутники:

   

   



   





           

Різницею між двома послідовними восьмикутними числами є центроване квадратне число (Conway and Guy, p.  50).

Властивості

Перші кілька центрованих квадратних чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Всі центровані квадратні числа непарні, а остання цифра в десятковому поданні дає послідовність 1-5-3-5-1.

Всі центровані квадратні числа та їхні дільники дають остачу 1 при діленні на 4. Тому всі центровані квадратні числа та їх дільники порівнянні з 1 або 5 за модулем 6, 8 або 12.

Кожне центроване квадратне число за винятком 1 є гіпотенузою в одній з піфагорових трійок (наприклад, 3-4-5, 5-12-13).

Центровані квадратні прості

Центровані квадратні прості — це центровані квадратні числа, які є також простими. На відміну від звичайних квадратних чисел, які ніколи не є простими, кілька центрованих квадратних чисел прості.

Кілька перших центрованих квадратних простих:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …

Чудовий приклад можна побачити в магічному квадраті 10-го століття ал-Антаакії.

Див. також

Примітки

    Література

    • Alfred, U. (1962). n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares. Mathematics Magazine 35 (3): 155–164. JSTOR 2688938. MR 1571197.
    • Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. New York: Dover. с. 125.
    • Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. с. 41–42. ISBN 0-387-97993-X. MR 1411676.

    Посилання

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.