Числа Серпінського

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число $k\cdot 2^{n}+1$ не є простим.

Відомі числа Серпінського

Послідовність відомих чисел Серпінського починається так:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, … .

Те, що число 78557 є числом Серпінського, було доведено в 1962 році Джоном Селфріджем, який виявив, що кожне число виду $78557\cdot 2^{n}+1$ ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Аналогічно, 271129 також є числом Серпінського: кожне число число виду $271129\cdot 2^{n}+1$ ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Всі відомі в цей час^[коли?] числа Серпінського мають подібні множини.[1]

Проблема Серпінського

Задача знаходження мінімального числа Серпінського відома як проблема Серпінського.

В 1967 році Селфрідж і Серпінський припустили, що 78557 є найменшим числом Серпінського. Для доведення цієї гіпотези достатньо показати, що всі менші непарні числа не є числами Серпінського. Станом на листопад 2018 року залишилося довести це твердження для 5 k[2]:

21181, 22699, 24737, 55459 і 67607.

Посилання

Prime Riddle(англ.) — стаття про числа Серпінского.

Примітки

Sierpinski number at The Prime Glossary(англ.)
Seventeen or Bust at PrimeGrid.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Sierpinski number at The Prime Glossary(англ.)

[2] Seventeen or Bust at PrimeGrid.