PrimeGrid

• Message7
• PrimeGen
• RSA 640
• RSA 768
• Twin Prime Search
• AP26
• Cullen/Woodall Sieve
• Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve
• The Riesel Problem (Sieve)
• Generalized Cullen/Woodall Sieve
• 321 Prime Search Sieve
• Fermat Divisor Search (LLR)

• виконання завдань Sieve на GPU дає перевагу над CPU у 10-100 разів (в залежності від моделі GPU і CPU)
• виконання завдань Sieve на GPU з CUDA (NVIDIA) має перевагу над аналогічним за рівнем GPU з OpenCL (AMD)
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням CUDA має перевагу над OpenCL для відеокарт родини Fermi та старших
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням OpenCL має перевагу над CUDA для відеокарт родини Kepler та молодших
• виконання завдань LLR та Genefer з оптимізацією під інструкції AVX сучасних Intel процесорів (Sandy/Ivy Bridge, Haswell) дає перевагу над SSE3 у декілька разів
• виконання завдань Sieve на 64-бітному CPU дає перевагу над 32-бітних CPU клієнтом у ~1.7 раза
• виконання завдань LLR на 64-бітному CPU має перевагу над 32-бітним CPU

Першим проєктом Message@Home (тепер PrimeGrid) був Message7, в якому за допомогою прямого перебору намагалися відновити повідомлення, зашифроване за допомогою md5. У серпні 2005 року Message7 було припинено.

У серпні 2005 до проєкту було долучено застосунок RSA 640 Factoring Challenge. Подібно до Message7 у цьому проєкті відбувались намагання прямим перебором віднайти дільник для 640 цифрового RSA ключа.

У листопаді 2005 зусиллями іншого проєкту було факторизовано RSA 640, отже PrimeGrid рушив на штурм RSA 768 Factoring Challenge.

Оскільки шанси на факторизацію RSA 768 виявились нескінченно малими, подальший розвиток залишено для PerlBOINC. У березні 2006 проєкт RSA 768 було перервано для запуску нового, PrimeGen.

У березні 2006 було запущено проєкт PrimeGen, метою якого було побудувати базу послідовних простих чисел. Однак, незабаром з'ясувалося, що ці зусилля мають нескінченно малі шанси на успіх, отже підпроєкт було зупинено.

Арифметична прогресія — послідовність чисел, різниця між послідовними членами якої є сталим числом. Наприклад послідовність 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … є арифметичною прогресією з фіксованою різнецею, що дорівнює 2.

Таким чином, арифметична прогресія простих чисел — це послідовність простих чисел, різниця між послідовними членами якої є сталим числом. Наприклад, послідовність 3, 7, 11 є арифметичною прогресією 3 простих із фіксованою різницею 4.

Для арифметичної прогресії (AP) простих, AP-k означає k простих форми p+d*n для деяких p і d, а n приймає значення від 0 до k−1. Арифметичну прогресію, що наведено вище, можна записати як AP-3 виду 3+4·n для n=0,1,2.

n=0; 3+4·0 = 3+0 = 3

n=1; 3+4·1 = 3+4 = 7

n=2; 3+4·2 = 3+8 = 11

Іншим прикладом арифметичної прогресії простих є AP-10 виду 199+210·n для n=0..9. Вона продукує наступну послідовність простих: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.

AP-k також інколи записують як PAP-k (Primes in Arithmetic Progression).

Підпроєкт AP26 займався пошуком найдовшої (але не найбільшої) арифметичної прогресії простих чисел. На той час найдовшою відомою AP була AP-25, що була віднайдена 17 травня 2008 року і має вигляд 6171054912832631+366384·23#·n (8132758706802551)

12 квітня 2010 року у підпроєкті AP26 було знайдено першу відому арифметичну прогресію 26 простих чисел:

, де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

У травні 2010 року підпроєкт AP26 було завершено.

20 вересня 2016 року підпроєкт пошуку арифметичної прогресії простих чисел було відновлено під назвою AP27 (арифметична прогресія 27 простих чисел)

23 вересня 2019 року у підпроєкті AP27 було знайдено першу відому арифметичну прогресію 27 простих чисел:

, де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

Підпроєкт 321 Prime Search — це продовження проєкту 321 Search, що було розпочато Paul Underwood, який шукав прості виду 3·2ⁿ−1. PrimeGrid додав пошук за формою +1 і продовжує пошук аж до n=25M.

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ+1 прості, утворюють послідовність A002253:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818.

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ−1 прості, утворюють послідовність A002235:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291.

Проєкт 321 Search було розпочато у лютому 2003 із листа від Paul Underwood, що шукав допомогу зацікавлених у пошуку простих виду 3·2ⁿ−1. Початкова мета була перевірити результати роботи вже проведені проєктом Proth Search і розширити перелік простих до експоненти в 1 мільйон (n=1M). Ця мета була швидко досягнута, тому вони розвинули мету з пошуку мега великих простих, для яких вони провели відсів аж до n=5M.

Прості числа виду 3·2ⁿ±1, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 20 січня 2021 року):

Cullen Prime Search — це підпроєкт з пошуку простих чисел Каллена. В теорії чисел число Каллена — натуральне число виду C_n = n·2ⁿ+1

Експоненти n, для яких відповідні числа Каллена прості, утворюють послідовність A005849:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881.

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Існує гіпотеза, що простих чисел Каллена нескінчено багато.

Прості числа Каллена, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 25 липня 2009 року):

В 1962 році Джон Селфридж висунув гіпотезу, що число Серпінського k = 78557 є найменшим з таких чисел. Проблема Серпінського намагається підтвердити цю гіпотезу. В 1976 році Натан Мендельсон (Nathan Mendelsohn) висунув гіпотезу, що другим числом Серпінського є просте число k = 271129. Prime Sierpinski Problem намагається підтвердити гіпотезу, що це число є найменшим простим числом Серпінського.

Якщо обидві ці проблеми будуть розв'язані і буде встановлено, що k = 78557 є найменшим числом Серпінського, і k = 271129 — найменшим простим числом Серпінського, однак це не доводить, що k = 271129 є другим числом Серпінського. Оскільки Prime Sierpinski Problem перевіряє всі прості k у проміжку 78557 < k < 271129, все що достатньо зробити, це перевірити всі складені з проміжку 78557 < k < 271129. Таким чином було розпочато проєкт Extended Sierpinski Problem.

Станом на грудень 2019 року пошук залишається для 9-ти k, до яких досі не знайдено простих:

91549, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673, 238411

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 24 грудня 2019 року):

Підпроєкт з пошуку простих чисел Прота k·2ⁿ+1 — дільників чисел Ферма.

Роботу було розпочато з пошуку простих для k=19683 аж до n=4M.

У другій стадії відбувався пошук для 5<=k<=49 аж до n=9M.

Підпроєкт вважається частиною проєкту Proth Prime Search, отож всі результати і досягнення зараховуються до PPS-LLR.

У березні 2021 року підпроєкт Fermat Divisor Search було завершено.

Узагальнене число Каллена визначається як число виду n·bⁿ+1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Каллена.

Узагальнене число Вудала визначається як число виду n·bⁿ−1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Вудала.

Метою GCW Prime Search є пошук узагальнених простих Каллена і Вудала за основами, для яких досі не віднайшли жодного простого. З самого початку GCW13 Search пощастило знайти найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 563528·13⁵⁶³⁵²⁸−1.

Наступні бази було обрано для подальшого пошуку узагальнених простих:

• Вудал: b = 43, 104 і 121
• Каллен: b = 13, 25, 29, 41, 47, 49, 53, 55, 68, 69, 73, 79, 101, 109, 113, 116 і 121

Основа 149 — наступна основа без відомих простих для обох і GC, і GW.

Початкова глибина відсіву для цих основ становила 1.5T. Lennart Vogel перевірив на простоту всі основи аж до n=100K (лише GW121 до 50K). Як побачимо нижче, це все була подвійна перевірка попередніх зусиль.

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність A076336 відомих чисел Серпінського починається так:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Проблему Серпінського можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?», а проблему простого Серпінського: «Яким є найменше просте число Серпінського?»

Найменше доведене просте число Серпінського — 271129. Щоб довести, що 271129 є найменшим простим числом Серпінського, необхідно показати, що кожне просте k, таке, що 0 < k < 271129, не є числом Серпінського.

Seventeen or Bust працює над проблемою Серпінського, а Prime Sierpinski Project — над проблемою простого Серпінського.

Для наступних k до цього часу залишаються невідомі прості для кожного з проєктів:

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 17 вересня 2017 року):

У підпроєкті Proth Prime Search відшукуються прості числа виду k·2ⁿ+1, за умови 2ⁿ > k, що часто називають простими числами Прота. Цей проєкт також дає можливість віднайти дільники для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма чи розширених узагальнених чисел Ферма. Як тільки у PrimeGrid знаходиться просте Прота, воно одразу проходить додаткову перевірку на сервері PrimeGrid, чи є воно дільником однієї з форм чисел Ферма.

Proth Prime Search проводиться у співпраці з проєктом Proth Search. Початковою метою проєкту PrimeGrid було перевірити всю попередню роботу проєкту Proth Search аж до n=500K для непарних k<1200 і заповнити будь-які можливі прогалини. PrimeGrid перевірив все аж до n=200000 і знайшов деякі прості, що було випущено минулим пошуком. Незважаючи на те, що прості вже надто малі, щоб потрапити до бази Top 5000, цей пошук був важливим, адже він міг призвести до відшукання нових дільників для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма або розширених узагальнених чисел Ферма.

Проєкт Proth Search було започатковано 1998 року за участю Ray Ballinger та Wilfrid Keller, які організували розподілені обчислення для знаходження простих Прота (прості виду k·2ⁿ+1) для k < 300. Ray був зацікавлений у пошуку простих, а Wilfrid — у пошуку дільників для чисел Ферма. Пізніше проєкт розширив межі свого пошуку до k < 1200. Mark Rodenkirch (aka rogue) допомагав Ray в утримані вебсайту останні декілька літ.

На початку 2008 року PrimeGrid та Proth Search розпочали співпрацю з надання програмного забезпечення для об'єднання зусиль розподілених обчислень.

Від того часу PrimeGrid веде пошук простих Прота у декількох різних підпроєктах, як у вигляді підпроєктів BOINC, так і в PRPNet.

Станом на 6 вересня 2019 року в PrimeGrid існує 4 діапазони пошуку простих Прота, які оформлені як 4 різних підпроєкти BOINC:

• PPS: k·2ⁿ+1 для k<1200
• PPSE: k·2ⁿ+1 для 1200<k<10000
• MEGA: k·2ⁿ+1 для 100<k<300 і 3.322M<=n<3.6M
• DIV: k·2ⁿ+1 для 5<=k<=49 і n<=9M

Мега Просте визначається як просте з щонайменше одним мільйоном десяткових знаків (титанічні прості містять щонайменше 1000 знаків, гігантське просте — 10000 знаків). Станом на 3 березня 2015 року відомо про 125 Мега Простих[2].

Підпроєкт MEGA фокусується на пошуку Мега Простих. Час перевірки на одному ядрі швидкого комп'ютера займає близько 1 години (Intel Haswell CPU). Пошук простих форми k·2ⁿ+1 було розпочато з n=3322000 для k<100, виключаючи k=3, 5, 7, 27. 18 липня 2014 року підпроєкт було перенесено з PRPNet в BOINC із зміною діапазонів пошуку з k<100 на 100<k<300.

PrimeGrid має намір продовжити пошук простих чисел Прота невизначено довго.

Фактично не минає дня, щоб у підпроєкті не було відшукано нових простих Прота. Серед усіх цих простих особливій інтерес викликають прості, що є дільниками чисел Ферма.

У табличці, що наведена нижче, представлені прості Прота, що було знайдено у PrimeGrid, що є дільниками чисел Ферма (станом на 14 лютого 2015 року):

Станом на 18 липня 2014 року підпроєктом MEGA у PRPNet було знайдено 7 Мега Простих:

Станом на 28 грудня 2017 року підпроєктом Proth Mega Prime Search були знайдені наступні Мега Прості:

З 2018 року у проєкті відбулась зміна політики анонсування відкриттів визначних простих чисел. Лише числа, що потрапляють у топ 100 простих, анонсуються.

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність відомих чисел Серпінського починається:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Те, що число 78557 є числом Серпінського, було доведено в 1962 році Джоном Селфриджем (англ. John Selfridge), який виявив, що кожне число виду 78557·2ⁿ+1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.

Проблему Серпінського можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?»

Більшість знавців теорії чисел вірять, що 78557 є найменшим числом Серпінського. Щоб це довести, достатньо показати, що для кожного непарного k, такого, що 0<k<78557, існує таке n, що число k·2ⁿ+1 є простим.

Підпроєкт Seventeen or Bust працює над проблемою Серпінського. Проєкт так називається, бо до його початку не біло відомо, чи існують прості для 17-ти чисел k. Наразі залишається знайти прості числа для 5-ти k, інші k, для яких відомі прості k·2ⁿ+1, наведено в таблиці:

Прості підпроєкту SoB, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 31 жовтня 2016 року):

Цей підпроєкт є поширенням проблеми Серпінського/Різеля (SoB/TRP). Він намагається розв'язати проблему Серпінського/Різеля за основою 5, віднайти найменше число Серпінського/Різеля. Таким чином відшукуються прості виду k·5ⁿ±1 з парними значеннями k.

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Серпінського за основою 5 є k = 159986. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ+1 для кожного парного k < 159986. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 30 значень (станом на 1 травня 2020 року): k = 6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 126134, 139196, 152588.

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Різеля за основою 5 є k=346802. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ−1 для кожного парного k < 346802. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 62 значень (станом на 13 серпня 2020 року): k = 3622, 4906, 23906, 26222, 35248, 52922, 63838, 64598, 68132, 71146, 76354, 81134, 92936, 102818, 102952, 109238, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 177742, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 213988, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 325922, 335414, 338866.

17 вересня 2004 року на сторінках yahoo групи primeform Роберт Сміт (Robert Smith) вперше презентував ідею пошуку найменших чисел Серпінського/Різеля за основою 5. Використовуючи покриваючу множину {3, 7, 13, 31, 601}, він висунув гіпотезу, що k=346802 є найменшим числом Різеля за основою 5. Невдовзі Гвідо Сметрійнз (Guido Smetrijns) запропонував k=159986 як найменше число Серпінського за основою 5.

Після виконання великої частини самостійних обрахунків, Роберт оголосив про це на форумі mersenneforum.org 28 вересня 2004 року, і таким чином, зусилля з розподіленого обчислення було розпочато. Іншими важливими гравцями у справі розробки, управління і розвитку проєкту є Lars Dausch, Geoff Reynolds, Anand S Nair, і Thomas Masser.

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 23 червня 2019 року):

Просте число p називається простим Софі Жермен, якщо число 2·p+1 також є простим. Наприклад просте число 5 є простим Софі Жермен, адже число 2·5+1 = 11 також є простим. Ці числа названі числами Софі Жермен на честь екстраординарної французької математички, що зробила важливий внесок в галузі диференційної геометрії і теорії чисел та у вивчені Останньої Теореми Ферма.

В підпроєкті Sophie Germain Prime Search спочатку перевіряється на простоту число виду k·2ⁿ−1. Якщо воно є простим, тоді перевіряються числа k·2ⁿ+1, k·2^n-1−1 та k·2ⁿ⁺¹−1. Якщо виявиться, що простим є також k·2^n-1−1 або k·2ⁿ⁺¹−1 — це означає, що знайдено просте Софі Жермен. Якщо простим виявиться k·2ⁿ+1, тоді можна сказати, що знайдено прості числа-близнюки. Можливість знайти просте Софі Жермен або прості-близнюки робить пошук саме у цьому підпроєкті привабливішим.

Прості Софі Жермен, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 29 лютого 2016 року):

Прості-близнюки, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 14 вересня 2016 року):

Ганс Івар Різель (англ. Hans Ivar Riesel, нар. 1929 у Стокгольмі) — шведський математик, у 1956 показав, що існує нескінчено велика кількість додатних непарних чисел k таких, що k·2ⁿ−1 є числом складеним для будь-якого цілого n ≥ 1. Такі числа тепер отримали назву чисел Різеля. Він також показав, що число k = 509203 є одним з таких. А також 509203 плюс будь-яке натуральне число, помножене на 11184810. Кожне число виду 509203·2ⁿ−1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Існує гіпотеза, що 509203 є найменшим числом Різеля. Проблема Різеля полягає у тому, щоб довести, що 509203 є найменшим числом Різеля. Щоб показати, що це число є найменшим, достатньо віднайти просте число для кожного додатного непарного k, меншого за 509203. Станом на 7 лютого 2021 року залишається віднайти прості для 47 чисел k:

2293, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 5 жовтня 2014 року):

Twin Prime Search (TPS) — підпроєкт, що займався пошуком великих простих-близнюків (twin primes). Підпроєкт використовує програму LLR (для тестування на простоту) та NewPGen (для відсіву), був розпочатий 13 квітня 2006 Майклом Квоком (Michael Kwok).

До цього часу не відомо, чи існує нескінченно багато простих-близнюків.

Проєктом TPS було знайдено рекордні прості-близнюки 2003663613·2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1 15 січня 2007 році на комп'ютері користувача Eric Vautier. Ці числа складаються з 58711 цифри, що зробило їх найбільшими відомими на той час простими-близнюками. Проєкт працював у співпраці з PrimeGrid, що зробив більшість LLR тестів.

6 серпня 2009 року 2 проєкти (PrimeGrid та Twin Prime Search) оголосили, що рекорд простих-близнюків поновлено. Це прості 65516468355·2³³³³³³±1 і складаються з 100355 цифр. Найменше з цих двох простих станом на серпень 2009 також є найбільшим з відомих простих Чена.

Woodall Prime Search — це підпроєкт з пошуку простих чисел Вудала. В теорії чисел число Вудала (що інколи називають числами Каллена другого порядку) — натуральне число виду W_n = n·2ⁿ−1

Експоненти n, для яких відповідні числа Вудала прості, утворюють послідовність A002234:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602.

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Є гіпотеза, що простих чисел Вудала є нескінчено багато.

Прості числа Вудала, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 21 березня 2018 року):

Просте p називається простим Віферіха, якщо p² ділить 2^p-1−1. Ці прості названі за ім'ям Артура Віферіха, німецького математика, який у 1909 році довів, що якщо перша частина останньої теореми Ферма не виконується для деякої експоненти p, тоді p задовільняє умові a^p-1 = 1 (mod p²) для a=2.

Незважаючи на численні пошуки, донині відомо лише 2 простих числа Віферіха — це 1093 та 3511. Рідкісність таких простих веде до зацікавлення у пошуку «майже» простих Віферіха. Вони визначаються як спеціальні випадки ${\displaystyle 2^{p-1 \over 2}{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|.

Просте число p, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle 2^{p-1 \over 2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|, назагал називається майже простим Віферіха.

Пошук простих і майже простих Віферіха триває вже більше 70 років. Ось історія прогресу:

За цей час верхня межа пошуку досягла вже 136·10¹⁵. PrimeGrid почав пошук з 3·10¹⁵. Причина цього полягає в тому, що Dorais і Klyve дали інше означення майже простого Віферіха. Таким чином вони не шукали майже простих Віферіха за класичним означенням. PrimeGrid не сподівався знайти простих Віферіха у проміжку між 3·10¹⁵ та 6.7·10¹⁵, але сподівався знайти декілька майже простих. Так сталося, що визначення майже простого Віферіха, що дали Dorais та Klyve зловило декілька «класичних» майже простих Віферіха, але не всі. PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| < = 1000.

Просте Вола-Суня-Суня (або Фібоначчі-Віферіха) — це таке просте p > 5, для якого p² ділить число Фібоначчі ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, де символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ визначається як ${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Хоча існує гіпотеза, що таких простих існує нескінчено багато, досі не відомо жодного Вола-Суня-Суня простого. Станом на листопад 2013, якщо вони і існують, вони мають бути більші за 26·10¹⁵.

Брак удачі в пошуку простих веде до зацікавленості в пошуку «майже» простих Вола-Суня-Суня. Вони визначаються як спеціальні випадки ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|.

Просте число p, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень |A|, назагал називається майже простим Вола-Суня-Суня.

Числа названі на честь Доналда Дайнса Вола (Donald Dines Wall) і братів близнюків Чжи Хон Суня (Zhi Hong Sun) та Чжи Вей Суня (Zhi Wei Sun), які в 1992 році показали, що якщо перша умова великої теореми Ферма не виконується для певного простого p, то p має бути простим числом Фібоначчі — Віферіха. Таким чином, до того, як велика теорема Ферма була доведена Ендрю Вайлсом, пошук простих Фібоначчі — Віферіха переслідував мету знайти потенційний контрприклад.

PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| < = 1000.

Це підпроєкт з пошуку узагальнених простих чисел Ферма виду bⁿ+1, де n є ступенем 2.

Протягом XVII сторіччя П'єр Ферма (Pierre de Fermat) та Марен Мерсенн (Marin Mersenne) вивчали дві певні форми чисел, з надією, що вони можуть продукувати велику кількість простих чисел, чи навіть нескінчену кількість простих. Мерсенн працював над переліком простих виду 2ⁿ−1, таких, що n < 257. Знадобилось багато років праці, щоб створити коректний перелік таких чисел. У листуванні з Френікл (Frénicle) Ферма висловив переконання, якщо n є ступенем 2, тоді 2ⁿ+1 є простим числом. Ферма знав, що 3, 5, 17, 257 і 65537 є простими, але пізніше Леонард Ейлер (Leonhard Euler) показав, що Ферма помилявся, віднайшовши дільник для наступного числа.

На честь натхнених піонерів теорії чисел, числа виду 2ⁿ−1 тепер називаються числами Мерсенна, а числа виду 2ⁿ+1 числами Ферма. Пошук простих Мерсенна та Ферма значно просунувся від часів XVII сторіччя. Тепер відомі всі прості Мерсенна з кількістю цифр менше за 2'000'000 і досліджено всі числа Ферма аж до 2'000'000'000 цифр! Це стало можливим, тому що протягом XIX ст. було винайдено декілька ефектнивних методів перевірки цих чисел на простоту. Одночасно з цим, деякі тести не менш швидкі були знайдені для перевірки всіх чисел N, якщо відома факторизація чисел N−1 або N+1. Таким чином багато форм чисел можуть бути використані для пошуку найбільших відомих простих, але на диво пошук найбільших простих обмежується числами Мерсенна. Відомими виключенями стали (2¹⁴⁸+1)/17 (винайдено у 1951 році з використанням ручного обчислювального методу), 180·(2¹²⁷−1)²+1 (винайдено у 1951 році) і 391581·2²¹⁶¹⁹³−1 (знайдено за допомогою «Amdahl 6» в 1989).

З 50-х по 70-ті розмір найбільших відомих простих постійно ріс разом із швидкостями комп'ютерів, але використовувані алгоритми залишались тими самими, що і наприкінці XIX ст. Але в 80-х роках XX ст., методи, що використовуються для обчислення базової операції алгоритму, добутку, змінилась. Помітивши, що добуток може бути представлений у вигляді суми скінченої послідовності, теорія дискретних транформація показала, як швидко обчислити цю операцію за допомогою швидких перетворень Фур'є (Fast Fourier Transform, FFT). За допомогою цього методу було знайдено деякі прості з більш ніж 10'000 та 100'000 цифр.

В 1994 R. Crandall та B. Fagin винайшли, що за допомогою дискретних зважених трансформацій (Discrete Weighted Transform, DWT) швидкість пошуку простих Мерсенна та Ферма може бути подвоєна. Цей метод було використано у пошуку шости нових простих Мерсена (найбільше з них містило понад 6'000'000 цифр) і довести складеність деяких чисел Ферма. Але прості серед чисел Мерсена та Ферма є рідкістю і шанс знайти нове просте малий.

В 1998 році Y. Gallot помітив, що дискретна зважена трансформація є поліноміальною операцією і якщо представлення чисел не обмежується базою 2, тоді багато чисел можуть бути перевірені на тому ж рівні швидкості, як і числа Мерсенна: узагальнені числа Ферма (Generalized Fermat Numbers, GFN), які є числами виду bⁿ+1, де n є ступенем 2. Він реалізував алгоритм в 1999 у програмі Proth.exe, яка з того часу була ще оптимізована. Теоретичні гіпотези стали дійсністю: пошук узагальнених простих Ферма так само швидкий, як і пошук простих Мерсенна такого ж розміру. За допомогою десятків комп'ютерів було знайдено багато простих, що містять більше ніж 100'000 цифр. У 2002 P. Carmody разом з B. Frey досягли великих успіхів в алгоритмі відсіву узагальнених чисел Ферма. P. Carmody організував прикладання великих зусиль до відсіву за допомогою програми, що була написана D. Underbakke, що таким чином прискорило пошук узагальнених простих чисел Ферма.

Узагальнених чисел Ферма існує набагато більше, ніж чисел Мерсенна того ж розміру і багато з них чекають на те, щоб заповнити прогалини між простими Мерсена, що вже знайдено і тими, що ще ні. Якщо ви зацікавлені у пошуку простих XXI сторіччя, вас запрошують долучитися до Generalized Fermat Prime Search!

Мега прості GFN (b²ⁿ+1, де n≥18), що було знайдено у PrimeGrid (станом на 21 січня 2020 року):

Підпроєкт 321 Prime Search Sieve займається відсівом для підпроєкту 321 Prime Search

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Підпроєкт Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Cullen та Woodall Prime Search

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву у 2500T була досягнута навесні 2012.

Підпроєкт Generalized Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Generalized Cullen/Woodall Prime Search

Підпроєкт Proth Prime Search Sieve займається відсівом для Proth Prime Search

Підпроєкт об'єднує зусилля з відсіву для підпроєктів Seventeen or Bust, Prime Sierpinski Project, Extended Sierpinski Project

Відсів для Seventeen or Bust та Prime Sierpinski Project поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Відсів Extended Sierpinski Project Sieve для Extended Sierpinski Project розпочато 29 червня 2014 року.

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву для Extended Sierpinski Project була досягнута у червні 2016 року.

Підпроєкт The Riesel Problem Sieve займається відсівом для The Riesel Problem

Наразі підпроєкт поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

1. 121 Prime Search
   • server=121:0:1:prpnet.primegrid.com:12001
2. 27 Prime Search
   • server=27:0:1:prpnet.primegrid.com:12006
3. Factorial Prime Search
   • server=FPS:0:1:prpnet.primegrid.com:12002
4. Primorial Prime Search
   • server=PRS:0:1:prpnet.primegrid.com:12008
5. Wieferich Prime Search (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WIEFERICH:0:2:prpnet.primegrid.com:13000
6. Wall-Sun-Sun Prime Search (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WALLSUNSUN:0:2:prpnet.primegrid.com:13001

1. Factorial Prime Search (Manual Sieve)
2. Primorial Prime Search (Manual Sieve)
3. Sierpinski/Riesel base 5 Project (Manual Sieve)
4. Generalized Fermat Prime Search (Manual Sieve)
5. PPS/RSP (Manual Sieve)