Ядрова оцінка густини розподілу

Нехай (x₁, x₂, …, x_n) — вибірка н.о.р.в.в., отримана з деякого розподілу з невідомою густиною ƒ. Потрібно оцінити форму цієї функції ƒ. Ядрова оцінка цієї густини ƒ задається формулою

${\displaystyle {\hat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})\quad ={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}$

де K(·) — статистичне ядро — симетрична, але не обов'язково додатня функція з інтегралом рівним одиниці, h > 0 — параметр згладжування, який ще називають пропускно́ю зда́тністю.

Якщо використовується гаусівські ядрові функції для оцінки одновимірних даних і оцінювана базова густина є стандартною нормальною, тоді можна показати, що оптимальним значенням параметру згладжування, h, є

${\displaystyle h=\left({\frac {4{\hat {\sigma }}^{5}}{3n}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 1.06{\hat {\sigma }}n^{1/5}}$, де ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ — стандартне відхилення вибірки, що оцінюється.

Таке наближення називається нормально розподілене наближення (або гаусівське наближення).