Яскравісна температура

За визначенням, яскравісна температура ${\displaystyle T_{b}}$ в діапазоні частот ${\displaystyle \Delta \nu }$ — це така температура, яку мало б абсолютно чорне тіло з такою ж інтенсивністю в даному діапазоні частот. Інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла задається формулою Планка:

${\displaystyle I_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp {\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$, де

• ${\displaystyle \nu }$ — частота випромінювання,
• ${\displaystyle h}$ — стала Планка,
• ${\displaystyle c}$ — швидкість світла,
• ${\displaystyle k}$ — стала Больцмана.

Звідси:

${\displaystyle T_{b}={\frac {h\nu }{k}}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2h\nu ^{3}}{I_{\nu }c^{2}}}\right)}$

Для випадку низьких частот ${\displaystyle h\nu \ll kT}$ формула Планка зводиться до формули Релея-Джинса:

${\displaystyle I_{\nu }={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}}$

Тоді яскравісна температура виражається:

${\displaystyle T_{b}={\frac {I_{\nu }c^{2}}{2k\nu ^{2}}}}$

Інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла в діапазоні довжин хвиль задається формулою Планка для довжин хвиль:

${\displaystyle I_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{kT\lambda }}-1}}}$

Звідси яскравісна температура в діапазоні довжин хвиль ${\displaystyle \Delta \lambda }$ виражається формулою:

${\displaystyle T_{b}={\frac {hc}{k\lambda }}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2hc^{2}}{I_{\lambda }\lambda ^{5}}}\right)}$

Для довгохвильового випромінювання ${\displaystyle hc/\lambda \ll kT}$ яскравісна температура виражається:

${\displaystyle T_{b}={\frac {I_{\lambda }\lambda ^{4}}{2kc}}}$

Для випромінювання, близького до монохроматичного, яскравісну температуру можна виразити через енергетичну яскравість ${\displaystyle I}$ і довжину когерентності ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle T_{b}={\frac {\pi I\lambda ^{2}L}{4kc\ln {2}}}}$

Потрібно відзначити, що яскравісна температура не є температурою в звичному розумінні. Вона характеризує випромінювання, і залежно від механізму випромінювання може значно відрізнятися від фізичної температури випромінюючого тіла. У нетеплових джерел яскравісна температура може бути дуже високою. У пульсарів вона досягає ${\displaystyle 10^{26}}$K[1]. Для випромінювання гелій-неонового лазера потужністю 60 мВт з довжиною когерентності 20 см, сфокусованого в плямі діаметром 10 мкм, яскравісна температура складає майже 14 ×10⁹К. Яскравісна температура чисто теплових джерел збігається з їхньою фізичною температурою.

• Температура

• Каплан С. А. Элементарная радиоастрономия. — «Наука», 1966.(рос.)