Ідеал (порядок)

Ідеал — в теорії порядку, непорожня підмножина I частково впорядкованої множини (P,≤), для якої виконуються такі умови:

1. Для довільних x ∈ I, y ∈ P, якщо y ≤ x, то y ∈ I (I — нижня множина)
2. Для довільних x, y ∈ I існує z ∈ I, такий, що x ≤ z та y ≤ z (I — направлена множина)

Для ґраток визначення ідеалу перефразовується так:

підмножина I ґратки (P,≤) є ідеалом тоді і тільки тоді, коли нижня множина замкнута відносно операції join, тобто, для довільних x, y ∈ I, елемент x${\displaystyle \vee }$y ∈ I.

Ідеал — поняття двоїсте до фільтра.