Теорема про булеві прості ідеали
Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів.
Так як в теорії порядку більшість понять є двоїстими, і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — лема про ультрафільтри.
Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець).
Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF).
В рамках ZFC деякі з них еквівалентні аксіомі вибору (AC), а саме теорема про Булеві прості ідеали (BPI) — є набагато слабшою за AC.
Лема про ультрафільтр
Лема:
- Довільний фільтр на множині є підмножиною деякого ультрафільтра (максимального фільтра) на цій множині. (В ZFC лема еквівалентна AC).
Це історично перше з усіх формулювань.
Теореми про прості ідеали
Враховуючи, що:
- Фільтр на множині є фільтром в булевій алгебрі утвореній булеаном цієї множини (див. представлення булевих алгебр).
- Для булевої алгебри поняття максимального фільтру та простого фільтру збігаються.
- Ідеал — це направлена нижня множина. Ідеал стає фільтром і навпаки, якщо замінити порядок на двоїстий до нього.
Перефразуємо лему про ультрафільтр та отримаємо, теорему:
- Довільний ідеал булеана є підмножиною простого ідеала.
Ця теорема узагальнюється на різні алгебраїчні структури. Якщо в них мова йде про прості ідеали, то її позначають PIT, а якщо про максимальні — MIT. Зазвичай версії MIT строгіші зі версії PIT.
Теорема про прості булеві ідеали
Якщо B — булева алгебра, I — деякий її ідеал, та F — її фільтр, такий що I та F не перетинаються (не мають спільних елементів).
Тоді I міститься в деякому простому ідеалі B, що не перетинається з F.
Узагальнення для деяких ґраток
Теорема також справедлива для дистрибутивних ґраток та імплікативних ґраток. Але для них максимальні та прості ідеали не збігаються, тому:
- MIT для них еквівалентна AC.
- PIT для дистрибутивних ґраток еквівалентна BPI.
- Імплікативна ґратка не є самодвоїстою, тому для неї існують дві теореми.
- MIT для дуальних понять імплікативних ґраток еквівалентна BPI.
Джерела
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)