Інтегральне перетворення Абеля

Інтегральне перетворення Абеля — перетворення, що часто використовується при аналізі сферично або циліндрично симетричних функцій. Названо на честь норвезького математика Н. Г. Абеля. Для функції ${\displaystyle f(r)}$ перетворення Абеля задається рівнянням:

${\displaystyle F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Якщо функція ${\displaystyle f(r)}$ спадає з ${\displaystyle r}$ швидше ніж ${\displaystyle 1/r}$, то можна обчислити зворотне перетворення Абеля:

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

В обробці зображень перетворення Абеля використовується для того, щоб отримати проєкцію симетричної, оптично-тонкої функції випускання на площину. Зворотне перетворення використовується для відновлення функції за її проєкцією (напр. фотографії).