Інтеграл Абеля

Інтеграл Абеля[1] — інтеграл від алгебричної функції вигляду:[2]

${\displaystyle A=\int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)dz~~~(1),}$

де ${\displaystyle R(z,w)}$ — будь-яка раціональна функція від змінних ${\displaystyle z}$ і ${\displaystyle w}$, пов'язаних алгебричним рівнянням

${\displaystyle F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\cdots +a_{n}(z)=0~~~(2).}$

з цілими раціональними за ${\displaystyle z}$ коефіцієнтами ${\displaystyle a_{j}(z),j=0,1,\cdots ,n}$. Рівнянню (2) відповідає компактна ріманова поверхня ${\displaystyle F}$, що у ${\displaystyle n}$ шарів покриває сферу Рімана, на якій ${\displaystyle z,w}$, а відповідно, і ${\displaystyle R(z,w)}$, що розглядаються як функції точки поверхні ${\displaystyle F}$, однозначні.

Нехай функція ${\displaystyle w}$ задається рівнянням

${\displaystyle w^{2}=z^{3}+pz+q,}$

де правий поліном не має кратних коренів. У цьому випадку функція ${\displaystyle A_{w}}$ є еліптичним інтегралом. Вона визначена із точністю до ${\displaystyle mv_{1}+nv_{2},}$ де ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ - пара комплексних чисел, ${\displaystyle m,n}$ - цілі. множина чисел типу ${\displaystyle mv_{1}+nv_{2}}$ утворює ґратку ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} .}$ Таким чином, із еліптичним інтегралом пов'язаний тор ${\displaystyle \mathbb {C} /\Gamma .}$

Рівняння задає на площині ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\{(z,w)\}.}$ Якщо доповнити ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ до проективного простору ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}c,}$ додавши нескінченно віддалену пряму і замкнувши її у ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$ отримаємо неособливу замкнену криву ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{2}}$ (тобто компактну ріманову поверхню), еліптичну криву, яка є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {C} /\Gamma .}$ Нехай маємо еліптичну функцію Вайєрштрасса:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left[{\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right].}$

Вона є мероморфною функцією із ґраткою періодів ${\displaystyle \Gamma .}$ Її похідна і вона сама пов'язані рівнянням

${\displaystyle (\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3},}$

для декотрих констант ${\displaystyle g_{2},g_{3},}$ які залежать від гратки ${\displaystyle \Gamma .}$ Таким чином, ${\displaystyle z\rightarrow (\wp (z),\wp '(z))}$ є мероморфним відображенням ${\displaystyle \mathbb {C} /\Gamma }$ на компактифікацію ${\displaystyle E'\subset \mathbb {P} ^{2}}$ кривої, заданої на комплексній площині. Проективні криві ${\displaystyle E,\,\,E'}$ є ізоморфними.

Досліджуючи абелеві функції, Ріман зконструював поверхні (криві ${\displaystyle g}$) за допомогою розрізів та зклеювань на комплексній поверхні[3]. Нехай ${\displaystyle H^{1,0}}$є простором голоморфних 1-форм на компактній рімановій поверхні ${\displaystyle X_{(g)}}$ із базисом ${\displaystyle \omega =(\omega _{1},...,\omega _{g}).}$ Також нехай ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},...,\beta _{2g})}$ є базисом у просторі 1-гомологій ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} ^{2g}}$ на ${\displaystyle X}$. Тоді

${\displaystyle \Omega _{ij}=\int _{\beta _{i}}\omega _{i}}$

є періодами на ${\displaystyle X}$. Вони утворюють матрицю ${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}\Omega _{ij}\end{vmatrix}}}$ періодів, яка залежить від вибору базисів у ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$ та ${\displaystyle H^{1,0}.}$ Ці періоди дозволяють відтворити криву ${\displaystyle X}$.