Ріманова поверхня

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами ${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ причому кожній множині ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ відповідає гомеоморфне відображення ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ із множини ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин ${\displaystyle \ U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ є непустою множиною, то функція:

${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),\quad \varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

є голоморфною. Множина ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}}$ при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

Сфера Рімана.

• Комплексна площина ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення ${\displaystyle \varphi (z)=z}$ визначає карту на множині ${\displaystyle \mathbb {C} }$, і ${\displaystyle \mathbb {C} ,\varphi }$ є необхідним атласом. Відображення ${\displaystyle \varphi (z)={\overline {z}}}$ (комплексне спряження) також визначає атлас на ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Дані атласи не є еквівалентними.

• Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.

• Нехай ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\;\varphi _{1}(z)=z}$ де ${\displaystyle z\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}}$ і ${\displaystyle \varphi _{2}(z)={\frac {1}{z}}}$ де ${\displaystyle z\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}$. Тоді ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ із своїми областями визначення визначають атлас. Множина ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.

Тор

• Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад тор ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} \oplus \tau Z''')}$, де τ комплексне число, що не є дійсним, відповідає через еліптичну функцію Вейєрштрасса деякій еліптичній кривій.
• Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають аналітичні продовження.

• 
  ${\displaystyle f(z)=\arcsin z,\!}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=\log z,\!}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{3}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{4}}}$

• Диференціал Абеля
• Многовид
• Теорема Рімана — Роха

• Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8