Алгебрична функція

Загалом, функція кількох змінних ${\displaystyle u=f(x,y,z,\dots )}$ зветься алгебраїчною в точці (x₀, y₀, z₀, ..), якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівняння вигляду:

${\displaystyle P_{0}(x,y,z,\dots )u^{n}+P_{1}(x,y,z,\dots )u^{n-1}+\dots +P_{n}(x,y,z,\dots )=0\,}$,

де ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots ,P_{n}\,}$ це многочлени відносно x, y, z.

Наприклад, функція дійсної змінної ${\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ є алгебраїчною на інтервалі ${\displaystyle (-1,1)}$ в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

${\displaystyle \,\!F^{2}+x^{2}=1.}$

Існує аналітичне продовження функції ${\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ на комплексну площину, з вирізаним відрізком ${\displaystyle [-1,1]}$ або з двома вирізаними променями ${\displaystyle (-\infty ,-1]}$ і ${\displaystyle [1,\infty )}$. У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Рівняння виду

${\displaystyle \,\!P(x_{1},\ldots ,x_{n})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

де P і Q многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

• Арифметична функція
• Раціональні функції
• Аналітичні функції
• Трансцендентні функції

• Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.