Інтерпретація (логіка)

Формальна мова складається з фіксованого збору пропозицій (також називають слова або формули, в залежності від контексту), що складається з фіксованого набору букв або символів. Інвентаризації, з якої взято ці букви називають абетка по якому визначається мова. Для того, щоб відрізнити рядки символів, які знаходяться в формальній мові від довільних рядків символів, використовують правильно побудовану формулу[2] (ППФ). Суттєвою особливістю формальної мови є те, що її синтаксис може бути визначений без звернення до інтерпретації. Наприклад, ми можемо визначити, що (P або Q) є добре правильно побудованою формула, навіть не знаючи, чи є воно істинним або хибним.

Багато з широко вивчених інтерпретацій асоціюють кожне речення на формальній мові з одним значенням істини: істинним або хибним. Ці інтерпретації називаються істино-функціональні. Вони включають в себе звичайні інтерпретації висловлювання та логіки першого порядку . Пропозиції, які зроблені вірно конкретним призначенням, повинні бути задоволені цим завданням.

Жодна пропозиція не може бути і істинним і хибним тієї ж інтерпретації, але цілком можливо, що значення істинності тієї ж пропозиції може бути різним у різних інтерпретаціях. Якщо судження відповідає то воно несуперечливе та істинне, (принаймні одна інтерпретація), в іншому випадку вона не відповідає та не істинне. Пропозиція φ називається логічно дійсним, якщо вона задовольняє будь-якій інтерпретації (якщо φ задовольняє будь-якій інтерпретації, яка задовольняє ${\displaystyle \psi }$, то φ, як кажуть, є логічним наслідком ${\displaystyle \psi }$).

Формальна мова для пропозиційної логіки складається з формул, побудованих з пропозиційних[3] символів (також званих пропозиційних символів, сентенціальних змінних і пропозиційних змінних) і логічними зв'язками. Тільки нелогічні символи[4] на формальній мові для логіки висловлювань є пропозиційними символами, які часто позначаються великими літерами. Для того, щоб зробити формальну мову точніше, конкретний набір пропозиційних символів повинен бути закріплений. Стандартний вид інтерпретації в зв'язку з цим є функція, яка відображає кожен символ пропозиційний один до одного із значень істинності істинне та хибне Ця функція називається привласнення істинності або функції оцінки. Для мови з ${\displaystyle n}$ різних пропозиційних змінних існує 2${\displaystyle n}$ різних можливих інтерпретацій. Для будь-якої конкретної змінної ${\displaystyle A}$, наприклад, існує ${\displaystyle 2^{1}}$ = 2 можливі інтерпретації: 1) ${\displaystyle A}$ призначається T, 2) ${\displaystyle A}$ призначається F. Для пари ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ існує ${\displaystyle 2^{2}}$ = 4 можливі інтерпретації: 1) обидва призначені Т , 2) обидва призначені F, 3) ${\displaystyle A}$ призначається Т і ${\displaystyle B}$ призначається F, 4) ${\displaystyle A}$ призначається F і ${\displaystyle B}$ призначається Т.

На відміну від логіки висловлювань, де кожна мова є тим самим, крім вибору іншого набору пропозиційних змінних, існує безліч різних мов першого порядку. Кожна мова першого порядку визначається підписом[5]. Підпис складається з набору нелогічних символів і ідентифікації кожного з цих символів як постійного символу, символу функції або символу предиката. У разі функції предикатні символи та натуральне число арності також призначається. Алфавіт для формальної мови складається з логічних констант, ставлення рівності символ =, всі символи від підпису, а також додаткові безліч символів відомі як змінні. Наприклад, в мові кілець, є постійні символи 0 і 1, два функціональні символи бінарних + і — , і ніяких двійкових символів відносин. (Тут відношення рівності береться як логічна константа .)

Знову ж таки, ми можемо визначити мову першого порядку як L, яка складається з окремих символів ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$; предикатні символи F, G, H, I і J; змінні ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$; немає функції букв; немає сентенціальних символів.

• Вільні і зв'язані змінні
• Теорія моделей
• Логіка висловлювань
• Модальна логіка
• Теорія моделей

• Stanford Enc. Phil: Classical Logic, 4. Semantics
• mathworld.wolfram.com: FormalLanguage
• mathworld.wolfram.com: Connective
• mathworld.wolfram.com: Interpretation
• mathworld.wolfram.com: Propositional Calculus
• mathworld.wolfram.com: First Order Logic

• Haskell Curry Основи математичної логіки. McGraw Hill. Тут: стор. 48
• Gottschalk v. Benson (1972), елементарна логіка, друге видання, Нью-Йорк: Oxford University Press, стор. 56, ISBN 0-19-501491-X
• Quine, W. V. (1954), «Кількісний і порожній домен», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 19 (3): 177—179, doi:10.2307/2268615, JSTOR 2268615, MR 0064715
• Roland Müller (2009). «Поняття Моделі». In Anthonie Meijers. Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.
• Rudolf Carnap (1958). Введення до символічної логіки та її застосування . New York: Dover publications. ISBN 9780486604534.
• Hans Freudenthal, ed. (Jan 1960). Поняття ролі і моделі в області математики і природничих наук і соціальних наук (Colloquium proceedings). Springer. ISBN 978-94-010-3669-6.
• Geoffrey Hunter (1992). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press.
• Hailperin, Theodore (1953), «Quantification theory and empty individual-domains», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 18 (3): 197—200, doi:10.2307/2267402, JSTOR 2267402, MR 0057820