Аксіома об'ємності

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{2})}$

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{2})\ )}$

Аксіома об'ємності виражає необхідну умову рівності множин. Достатню умову рівності множин можна вивести з аксіом предиката ${\displaystyle ~=}$, а саме:

${\displaystyle ~\forall a\ (a=a)}$,

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))}$, де ${\displaystyle ~\varphi [a_{1}]}$ — будь-яке математично коректне судження про ${\displaystyle ~a_{1}}$, а ${\displaystyle ~\varphi [a_{2}]}$ — те ж саме судження, але про ${\displaystyle ~a_{2}}$.

Об'єднуючи зазначену достатню умову рівності множин з аксіомою об'ємності, отримуємо наступний критерій рівності множин:

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )}$

Зазначений критерій рівності множин не гірший і не кращий за інші аналогічні критерії, включаючи:

1) критерій рівності комплексних чисел

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))}$,

2) критерій рівності впорядкованих пар

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )}$,

3) критерій рівності невпорядкованих пар

${\displaystyle ~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )}$,

4) критерій рівності двох послідовностей

${\displaystyle ~\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})}$.

З викладеного ясно, що 'аксіома об'ємності' є органічною частиною аксіоматики теорії множин.

Аксіому об'ємності застосовують при доведенні єдиності множини, існування якої вже декларовано аксіомою або установлено доведенням теореми.

Приклади

1. Доведення єдиності порожньої множини

Існування (принаймні однієї) порожньої множини декларовано аксіомою

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)}$.

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ${\displaystyle ~a}$, для якої вірне висловлювання:

${\displaystyle ~\forall b\ (b\notin a)}$.

Іншими словами, потрібно довести

${\displaystyle ~\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))}$

Або, що теж саме, потрібно довести

${\displaystyle ~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1}=a_{2})}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a\forall b\ (b\notin a)}$, то доведення єдиності порожньої множини завершено.

2. Доведення єдиності множини підмножин

Існування (принаймні однієї) множини підмножин декларовано аксіомою

${\displaystyle ~\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Потрібно довести існування не більше, ніж однієї множини ${\displaystyle ~d}$, для якої є вірним висловлювання

${\displaystyle ~\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$

Іншими словами, потрібно довести

${\displaystyle ~\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))}$

Або, що те ж саме, потрібно довести

${\displaystyle ~\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle ~\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, то доведення єдиності множини підмножин завершено.

• Аксіоматика теорії множин

• В.І. Андрійчук, М.Я. Комарницький, Ю.Б. Іщук. «Вступ до дискретної математики»