Аксіома порожньої множини

${\displaystyle \neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))}$

${\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\neq b\})}$

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\in b\})}$

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ a\in b\})}$

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\not \subset b\})}$

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\subsetneq b\})}$

${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])}$, що є ${\displaystyle \exists a\ (a=\{b:\ \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})}$

${\displaystyle ~\cdots }$

1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:

• ${\displaystyle ~\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )}$,
• ${\displaystyle ~\forall b\ (b=b)}$,
• ${\displaystyle ~\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)}$.

Крім того, аксіому порожньої множини можна вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:

• ${\displaystyle ~\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}$

2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:

${\displaystyle ~\exists !a\forall b\ (b\notin a)}$, що є ${\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)}$

Єдиність порожньої множини не суперечить «нескінченній множині» описів порожньої множини, включаючи наступні описи:

• ${\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\}}$,
• ${\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\}}$,
• ${\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\}}$,
• ${\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}}$.
• ${\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\}}$

• Аксіоматика теорії множин
• Порожня множина