Алгебра Валя

Алгебра Валя (або Алгебра Валентини) — неасоціативна алгебра M над полем F, в якій бінарна мультиплікативна операція підкоряється наступним аксіомам:

1. Умові антисиметричності:

${\displaystyle g(A,B)=-g(B,A)}$

для всіх ${\displaystyle A,B\in M}$.

2. Тотожності Валентини:

${\displaystyle J(g(A_{1},A_{2}),g(A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6}))=0}$

для всіх ${\displaystyle A_{k}\in M}$, где k=1,2,…,6, и

${\displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}$

3. Умові білінійності:

${\displaystyle g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)}$

для всіх ${\displaystyle A,B,C\in M}$ и ${\displaystyle a,b\in F}$.

Можна сказати, що M є алгеброю Валентини, якщо комутант цієї алгебри є Лієвою подалгеброю. Будь-яка алгебра Лі є алгеброю Валентини.

Білінійна мультиплікативна операція в алгебрі Валентини, так само як в алгебрі Лі, не є асоціативною операцією.

Існує наступний взаємозв'язок між Комутантно-асоціативною алгеброю і алгеброю Валя. Заміна множення g(A, B) в алгебрі M операциєю комутування [A, B]=g(A, B)-g(B, A), перетворює її в алгебру ${\displaystyle M^{(-)}}$. При цьому, якщо M є комутантно-асоціативною алгеброю, то ${\displaystyle M^{(-)}}$ буде алгеброю Валя. Алгебра Валя є узагальненням алгебри Лі, яка є окремим прикладом алгебри Валентини.

Алгебри Валя можуть бути використані для опису дисипативних і негамільтонових квантових систем.