Алгебра над полем

• Гомоморфізм K-алгебр — відображення ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, для якого виконуються рівності:

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$   для всіх   ${\displaystyle \lambda \in K,x\in A}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$   для всіх   ${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$   для всіх   ${\displaystyle x,y\in A.}$

• Підалгебра алгебри над полем K — лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
• Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
• Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів ${\displaystyle a\neq 0}$ і ${\displaystyle b}$ рівняння ${\displaystyle ax=b}$ і ${\displaystyle ya=b}$ має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
• Центр алгебри А — множина елементів ${\displaystyle a\in A}$, таких що ${\displaystyle xa=ax}$ для будь-якого елемента ${\displaystyle x\in A}$.

• Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
• Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
• Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
• Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Групова алгебра ${\displaystyle K[G]}$ в якій елементи групи ${\displaystyle G}$ є базисом векторного поля ${\displaystyle K[G]}$, що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з ${\displaystyle G}$. На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група ${\displaystyle G}$.

• Алгебра октоніонів, або чисел Келі.
• Евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ з операцією векторного добутку, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\times )}$, є неасоціативною, антикомутативною ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-алгеброю розмірності 3 без одиниці.
• Загальні алгебри Лі. Зокрема простір квадратних матриць розмірності n ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)}$ разом з операцією дужок Лі ${\displaystyle [M,N]=MN-NM}$ є неасоціативною, некомутативною алгеброю без одиниці.
• Алгебра Йордана.
• Алгебра Мальцева
• Альтернативні алгебри.

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (${\displaystyle {\vec {u}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle {\vec {w}}}$) відповідна таблиця множення задається як:

	${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}}$
${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {u}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {w}}=-{\vec {v}}}$
${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {u}}=-{\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}={\vec {u}}}$
${\displaystyle {\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {u}}={\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {v}}=-{\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {w}}={\vec {0}}}$

Структурні коефіцієнти визначені як: ${\displaystyle c_{1,2}^{3}=1,\;c_{1,3}^{2}=-1,\;c_{2,1}^{3}=-1,\;c_{2,3}^{1}=1,\;c_{3,1}^{2}=1,\;c_{3,2}^{1}=-1,}$ всі інші коефіцієнти рівні нулю.