Комплексна площина

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ називається множина виду ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0}$. Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядати і проколоті околи ${\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}}$.

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь-якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ буде точкою згущення для множини ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільного околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ буде називатися замкнутою, якщо для неї справедливим є включення ${\displaystyle G'\subset G}$. Очевидно, що для довільної множини ${\displaystyle G}$ множина ${\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G'}$ буде замкненою; вона називається замиканням множини ${\displaystyle G}$.

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ буде називатися граничною для множини ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільного околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$ і ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)}$ будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною ${\displaystyle \partial G}$ або просто границею.

Множина ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} }$ буде називатися всюди щільною в іншій множині ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, якщо для довільної точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$ і будь-якого околу ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ перетин ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E}$ не порожній.

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань між двома точками дорівнює модулю їх різниці. Тепер визначимо відстань між точкою ${\displaystyle z_{0}}$ і деякою множиною ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ як величину ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|}$.

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ : ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})}$.

Множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення ${\displaystyle \inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0}$. Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язну множину ${\displaystyle G}$ можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) ${\displaystyle \sum G_{n}}$, де ${\displaystyle G_{n}}$ — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'язними компонентами множини ${\displaystyle G}$. Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Кривою або шляхом на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ називається відображення вигляду ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$. Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції ${\displaystyle \varphi (t)}$, але й її напрямок. Наприклад, функції ${\displaystyle \varphi (t)}$ і ${\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)}$ будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Криві ${\displaystyle \varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ називаються гомотопними, якщо існує крива ${\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }$, що залежить від параметра ${\displaystyle q}$ таким чином, що ${\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _{0}}$ і ${\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _{1}}$.