Алгоритм Кехена

В псевдокоді алгоритм можна записати так:

function KahanSum(input)
    var sum = 0.0
    var c = 0.0                 // Сума похибок.
    for i = 1 to input.length do
        y = input[i] - c        // Поки що все добре: c - нуль.
        t = sum + y             // На жаль, sum велике, y мале, тому молодші розряди y втрачені.
        c = (t - sum) - y       // (t - sum) відновлює старші розряди y; віднімання y відновлює -(молодші розряди y)
        sum = t                 // Алгебраїчно, c завжди повинно дорівнювати нулю. Будьте обережні, користуючись оптимізувальними компіляторами!
                                // Під час наступної ітерації втрачені молодші розряди будуть заново додані до y.
    return sum

В цьому прикладі будемо використовувати десяткову шестирозрядну арифметику з рухомою комою. Комп'ютери, як правило, використовують двійкову арифметику, але алгоритм, що ілюструється, від цього не змінюється. Нехай sum було присвоєно значення 10000.0, і наступні два значення input[i] рівні 3.14159 і 2.71828. Точний результат рівний 10005.85987, що заокруглюється до 10005.9. При простому підсумовуванні порядок кожного вхідного значення був би вирівняний з sum, і багато молодших розрядів були б втраченими (заокругленими або відкинутими). Перший результат після заокруглення був би 10003.1. Другий результат був би 10005.81828 до заокруглення і 10005.8 після, що не є правильним результатом.

При компенсаційному підсумовуванні ми б отримали правильний заокруглений результат — 10005.9.

Покладемо початкове значення c=0.

y = 3.14159 - 0                   y = input[i] - c
t = 10000.0 + 3.14159
  = 10003.1                       Багато розрядів втрачено!
c = (10003.1 - 10000.0) - 3.14159 Це потрібно розраховувати так, як записано! 
  = 3.10000 - 3.14159             Відновлена частина y, яка на увійшла в t, а не все вхідне y.
  = -.0415900                     Завершуючі нулі показані тому, що це шестирозрядна арифметика.
sum = 10003.1                     Таким чином, не всі розряди з input[i] включені в sum.

Сума настільки велика, що зберігаються тільки старші розряди доданку. На щастя, на наступному кроці c зберігає похибку.

y = 2.71828 - (-.0415900)         Враховується похибка з попереднього кроку.
  = 2.75987                       Її порядок не сильно відрізняється від y. Більшість розрядів враховано.
t = 10003.1 + 2.75987             Але тільки деякі розряди попадають в sum.
  = 10005.85987,                  Заокруглюється до 10005.9
c = (10005.9 - 10003.1) - 2.75987 Тут отримується те, що прийшло
  = 2.80000 - 2.75987             В даному випадку забагато.
  = .040130                       Так чи інакше надлишок буде віднятий наступного разу.
sum = 10005.9                     Точний результат: 10005.85987, що коректно заокруглено до 6 знаків.

Таким чином, додавання відбувається з використанням двох змінних: sum зберігає суму, і c зберігає частину суми, яка не потрапила в sum на наступній ітерації.

Старанний аналіз похибок при компенсаційному підсумовуванні є необхідним для оцінки точності. Незважаючи на те, що він є більш точним, ніж наївне підсумовування, він все ще може давати великі відносні похибки для погано обумовлених сум.

Припустимо, що виникає потреба підсумувати ${\displaystyle n}$ значень ${\displaystyle x_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$.

Точна сума (розрахована з нескінченною точністю):

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$.

З компенсаційним підсумовуванням вона набуває вигляду ${\displaystyle S_{n}+E_{n}}$, де похибка ${\displaystyle E_{n}}$ обмежена виразом[2]:

${\displaystyle |E_{n}|\leqslant \left[2\varepsilon +O(n\varepsilon ^{2})\right]\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}$,

${\displaystyle \varepsilon }$ — машинний епсилон (наприклад, ε≈10⁻¹⁶ для чисел з рухомою комою подвійної точності).

Як правило, нас цікавить величина відносної похибки ${\displaystyle |E_{n}|/|S_{n}|}$, яка обмежена виразом:

${\displaystyle {\frac {|E_{n}|}{|S_{n}|}}\leqslant \left[2\varepsilon +O(n\varepsilon ^{2})\right]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|}{\left|\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right|}}}$.

У виразі для оцінки відносної похибки дріб ${\displaystyle \sum |x_{i}|/\left|\sum {x_{i}}\right|}$ є числом обумовленості задачі підсумовування. По суті, число обумовленості виражає внутрішню чутливість задачі підсумовування до похибок, незалежно від способу розрахунку[4].

В принципі, достатньо агресивні оптимізувальні компілятори можуть перешкоджати реалізації алгоритму Кехена. Наприклад, якщо компілятор спрощує вирази у відповідності до правил асоціативності для дійсних чисел, він може «спростити» другий крок у послідовності t = sum + y; c = (t - sum) - y; до ((sum + y) - sum) - y;, а потім до c = 0;, виключаючи компенсацію похибок[5]. На практиці багато компіляторів не використовують правила асоціативності (які є лише наближеними в арифметиці чисел з рухомою комою) для оптимізації, за винятком явного використання опцій компілятора, які дозволяють «небезпечні» оптимізації[6][7][8][9], хоча компілятор Intel C++ дозволяє за замовчуванням оптимізації, які базуються на правилах асоціативності[10]. Оригінальна K&R версія мови програмування C дозволяла компілятору змінювати порядок операндів у виразах з рухомою комою у відповідності до правил асоціативності, але наступний стандарт ANSI C заборонив зміну порядку операндів для того, щоб зробити мову програмування C краще пристосованою для розробки додатків, які використовують чисельні методи (і більш подібною до мови програмування Fortran, яка забороняла зміну порядку операндів[11]), однак на практиці способи оптимізації залежать від опцій компіляторів.

В загальному, вбудовані функції для підсумовування в мовах програмування, як правило, не гарантують, що алгоритм частинного підсумовування буде використовувати хоча б алгоритм Кехена.