Число з рухомою комою

Число з рухомою комою[1][2][3] — форма подання дійсних чисел, в якій число зберігається у формі мантиси і показника степеня.

Число з рухомою комою має фіксовану відносну точність, залежну від кількості розрядів мантиси, і змінювану абсолютну. Найчастіше використовувані подання затверджено в стандарті IEEE 754. Реалізація математичних операцій з числами з рухомою комою у комп'ютерах може бути як апаратною, так і програмною.

«Рухома кома» та «рухома крапка»

Оскільки в деяких, переважно англомовних та англіцизованих країнах (див. докладний список десятковий розділювач) при запису чисел ціла частина відділяється від дробової крапкою, то в термінології цих країн фігурує назва «рухома крапка» (англ. floating point). Оскільки в Україні ціла частина числа від дробової традиційно відділяється комою, то для позначення того ж поняття історично використовується термін «рухома кома», проте в літературі та технічній документації можна зустріти обидва варіанти.

Походження назви

Назва «рухома кома» походить від того, що кома в позиційному поданні числа (десяткова кома, або, для комп'ютерів, двійкова кома — далі по тексту просто кома) може бути поміщена де завгодно відносно цифр у рядку. Це положення коми вказується окремо у внутрішньому поданні. Таким чином, подання числа у формі з рухомою комою може розглядатися як комп'ютерна реалізація експоненційного запису чисел.

Перевага використання подання чисел у форматі з рухомою комою порівняно з використанням у форматі з фіксованою комою (і цілими числами) полягає в тому, що можна використовувати істотно ширший діапазон значень за незмінної відносної точності. Наприклад, у формі з фіксованою комою число, що має 8 розрядів у цілій частині і 2 розряди після коми, можна подати у вигляді 123456,78; 8765,43; 123,00 і так далі. У свою чергу, у форматі з рухомою комою (в тих же 8 розрядах) можна записати числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 і так далі, але для цього потрібне дворозрядне^{[прояснити]} додаткове поле для запису показника степеня 10 від 0 до 16₁₀, при цьому загальне число розрядів складе 8+2=10.

Швидкість виконання комп'ютером операцій з числами, поданими у формі з рухомою комою, вимірюється в мегафлопсах (від англ. FLOPS — число операцій з рухомою комою за секунду), гігафлопсах і так далі, і є однією з основних одиниць вимірювання швидкодії обчислювальних систем.

Структура числа

Число з рухомою комою складається зі:

Знаку мантиси (вказує на від'ємність чи додатність числа)
Мантиси (виражає значення числа без урахування порядку)
Знаку порядку
Порядку (виражає степінь основи числа, на яке множиться мантиса)

Нормальна форма та нормалізована форма

Нормальною формою числа з рухомою комою називається така форма, в якій мантиса (без урахування знаку) міститься на напівінтервалі [0; 1) ( $0\leqslant a<1$ ). Така форма запису має недолік: деякі числа записуються неоднозначно (наприклад, 0,0001 можна записати в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10^-1, 0,01×10^-2, 0,1×10^-3), тому поширеною (особливо в інформатиці) є й інша форма запису — нормалізована, в якій мантиса десяткового числа набуває значень від 1 (включно) до 10 (НЕ включно), а мантиса двійкового числа набуває значень від 1 (включно) до 2 (НЕ включно) ( $1\leqslant a<q$ ). У такій формі будь-яке число (крім 0) записується єдиним чином. Недолік полягає в тому, що в такому вигляді неможливо отримати 0, тому представлення чисел в інформатиці передбачає спеціальну ознаку (біт) для числа 0.

Оскільки старший розряд (ціла частина числа) мантиси двійкового числа (крім 0) в нормалізованому вигляді дорівнює «1», то при записі мантиси числа в ЕОМ старший розряд можна не записувати, що й використовується в стандарті IEEE 754. В позиційних системах числення з основою, більшою, ніж 2 (в трійковій, четвірковій та інших), цієї властивості немає.

Використання в обчислювальних машинах

В обчислювальних машинах показник степеня прийнято відокремлювати від мантиси літерою «E» (англ. exponent). Наприклад, число 1,528535047×10^-25 у більшості мов програмування високого рівня записується як 1.528535047E-25.

Короткий огляд

Існує кілька способів того, як рядки з цифр можуть подавати числа:

Найпоширеніший спосіб подання значення числа рядком з цифрами — у вигляді цілого числа — кома (radix point) за замовчуванням розташована наприкінці рядка.
Загалом, у математичному поданні рядок з цифр може мати яку завгодно довжину, а положення коми позначається явним записом символу коми (або крапки) в потрібному місці.
У системах з поданням чисел у форматі з фіксованою комою існує певна умова щодо положення коми. Наприклад, у рядку з 8 цифр умова може вказувати положення коми в середині запису (між 4-ю і 5-ю цифрами). Таким чином, рядок «00012345» позначає число 1,2345 (нулі ліворуч завжди можна відкинути).
В експоненційному записі використовують стандартний (нормалізований) вид подання чисел. Число вважається записаним у стандартному (нормалізованому) вигляді, якщо воно записане у вигляді $aq^{n}$ , де $a$ , зване мантисою, таке, що $1\leqslant a<q$ , $n$ — ціле, називається показником степеня та $q$ — ціле, основа системи числення (на письмі це зазвичай 10). Тобто у мантиси кома поміщається одразу після першої значущої (не рівної нулю) цифри, рахуючи зліва направо, а подальший запис дає інформацію про дійсне значення числа. Наприклад, період обертання (на орбіті) супутника Юпітера Іо, який дорівнює 152853,5047 с, у стандартному вигляді можна записати як 1,528535047×10⁵ с. Побічним ефектом обмеження на значення мантиси є те, що в такому записі неможливо зобразити число 0.
Запис із рухомою комою схожий на запис чисел у стандартному вигляді, але мантиса та експонента записуються окремо. Повертаючись до прикладу з Іо, запис у формі з рухомою комою буде 1528535047 з показником 5. Це означає, що записане число в 10⁵ разів більше числа 1,528535047, тобто для отримання потрібного числа кома зсувається на 5 розрядів вправо. Однак, запис у формі з рухомою комою використовується переважно в електронному поданні чисел, для якого використовується основа системи числення 2, а не 10. Крім того, в двійковій системі запису мантиса зазвичай денормалізована, тобто вважається, що кома стоїть перед першою цифрою, а не після, і ціла частина взагалі не розглядається — так з'являється можливість значення 0 зберегти природним чином. Таким чином, десяткова 9 в двійковому поданні з рухомою комою буде записана як мантиса +1001000…0 і показник +0…0100. Звідси, наприклад, проблеми з двійковим поданням чисел на зразок однієї десятої (0,1), для якої двійкове подання мантиси виявляється періодичним двійковим дробом — за аналогією з дробом 1/3, який неможливо записати з скінченною кількістю цифр у десятковій системі числення.

Запис числа у формі з рухомою комою дозволяє виконувати обчислення над широким діапазоном величин, поєднуючи фіксовану кількість розрядів та точність. Наприклад, у десятковій системі подання чисел з рухомою комою (3 розряди) операція множення, яку ми записуємо так:

0,12 × 0,12 = 0,0144

у нормальній формі подається у вигляді: (1,20×10^-1) × (1,20×10^-1) = (1,44×10^-2). У форматі з фіксованою комою ми б отримали вимушене округлення

0,120 × 0,120 = 0,014.

При цьому втрачено крайній правий розряд числа, оскільки цей формат не дозволяє комі «рухатися» по запису числа.

Діапазон чисел, які можна подати у форматі з рухомою комою

Діапазон чисел, які можна записати цим способом, залежить від кількості біт, відведених для подання мантиси та показника. На звичайній 32-бітній обчислювальній машині, що використовує подвійну точність (64 біти), мантиса становить 1 біт знак + 52 біти, показник — 1 біт знак + 10 біт. Таким чином отримуємо діапазон приблизно від 4,94×10^-324 до 1.79×10³⁰⁸ (від 2⁻⁵² × 2⁻¹⁰²² до ~ 1 × 2¹⁰²⁴). В стандарті IEEE 754 декілька значень цього типу зарезервовано для подання спеціальних чисел. До них належать значення NaN (Not a Number — «не число») і +/-INF (Infinity, нескінченність), які утворюються внаслідок операцій на зразок ділення на нуль нуля, додатних та від'ємних чисел. Також сюди потрапляють денормалізовані числа, в яких мантиса менша від одиниці. У спеціалізованих пристроях (наприклад GPU) підтримка спеціальних чисел часто відсутня. Існують програмні пакунки, в яких обсяг пам'яті виділений під мантису та показник задається програмно, і обмежується лише обсягом доступної пам'яті комп'ютера.

Точність	Одинарна	Подвійна	Розширена
Розмір (байти)	4	8	10
Число десяткових знаків	~7.2	~15.9	~ 19.2
Найменше значення (>0), денормалізоване	1,4×10^-45	5,0×10^-324	1,9×10^-4951
Найменше значення (>0), нормалізоване	1,2×10^-38	2,3×10^-308	3,4×10^-4932
Найбільше значення	3,4 ×10⁺³⁸	1,7 ×10⁺³⁰⁸	1,1 ×10⁺⁴⁹³²
Поля	S-E-F	S-E-F	S-E-I-F
Розміри полів	1-8-23	1-11-52	1-15-1-63

S — знак, E — показник степеня, I — ціла частина, F — дробова частина
Так само, як і для цілих, знаковий біт — старший.

Машинний епсилон

На відміну від чисел з фіксованою комою, сітка чисел, яку здатна відобразити арифметика з рухомою комою, нерівномірна: вона густіша для чисел з малими порядками та рідша для чисел з великими порядками. Але відносна похибка запису чисел однакова і для малих чисел, і для великих. Тому можна ввести поняття машинного епсилону.

Машинним епсилоном називається найменше додатне число ε таке, що $1\oplus \varepsilon \neq 1$ (знаком $\oplus$ позначено машинне додавання). Грубо кажучи, числа a і b, для яких $1<{\frac {a}{b}}<1+\varepsilon$ , машина не розрізняє.

Див. також

Примітки

number // Англійсько-український словник з математики та інформатики 2010 р. (Є. Мейнарович, М. Кратко).
number // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська 2010 р. (О. Кочерга, Є. Мейнарович).
число // Українсько-англійський словник з радіоелектроніки 2015 (Богдан Рицар, Леонід Сніцарук, Роман Мисак).

Посилання

Арифметика рухомої коми

Література

Н. А. Криницький, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов. Програмування. — М. : Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1963. — 384 с.
Генрі С. Воррен, мл. Глава 15. Числа з рухомою точкою // Алгоритмічні трюки для програмістів = Hacker's Delight. — М. : Вільямс, 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] umber // Англійсько-український словник з математики та інформатики 2010 р. (Є. Мейнарович, М. Кратко).

[2] umber // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська 2010 р. (О. Кочерга, Є. Мейнарович).

[3] число // Українсько-англійський словник з радіоелектроніки 2015 (Богдан Рицар, Леонід Сніцарук, Роман Мисак).