Александровська геометрія

Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.

Історія

Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Карла Менгера.[1] Ця робота була забута аж до 1980-их років.

Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим.[2][3] Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.

Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Буземаном.[4]

Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:

Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.
- Гіперболічність у сенсі Громова є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.

Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала Теорема Громова про компактність. Основна робота була написана Юрієм Дмитровичем Бураго, Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.[5]

Основні визначення

Трикутник порівняння для трійки точок $xyz$ метричного простору $X$ це трикутник $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ на евклідовій площині $\mathbb {E} ^{2}$ з тими ж довжинами сторін; тобто

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}

Кут при вершині ${\tilde {x}}$ у трикутнику порівняння $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ називаються кутом порівняння трійки $xyz$ і позначаються ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$ .

В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори $X$ з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.

Недодатна кривина

Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $x,y,p,q\in X$ розглянемо кілька трикутників порівняння $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ і $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ . Тоді для довільної точки ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ виконується нерівність

|x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm {CAT} [0]$ -нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.

Невід'ємна кривина

Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $p,x,y,z\in X$ виконується нерівність

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm {CBB} [0]$ -нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.

Загальні обмеження на кривину

Замість Евклідової площини можна взяти простір $\mathbb {M} [k]$ — модельну площину кривини $k$ . Тобто

$\mathbb {M} [0]$ є евклідова площина,
$\mathbb {M} [k]$ при $k>0$ є сфера радіуса $1/{\sqrt {k}}$ ,
$\mathbb {M} [k]$ при $k<0$ є площина Лобачевського кривини $k$ .

Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною $\leq k$ і $\geq k$ у сенсі Александрова У разі $k>0$ , трикутник порівняння трійки $(xyz)$ вважається визначеним, якщо виконана така нерівність

|x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}

.

Основні теореми

Лема Александрова — важливе технічне твердження про кути порівняння
Теорема Решетняка про склеювання — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами.
Теорема Решетняка про мажорування — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів.
Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана.
Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням теореми порівняння Топоногова.

Див. також

Синтетична геометрія

Примітки

Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

Література

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
Лекция 5, Геометрия Александрова
Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. «Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces». arXiv:1701.03483 [math.DG].

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.

[2] Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.

[3] Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.

[4] Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.

[5] Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.