Александровська геометрія
Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.
Історія
Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Карла Менгера.[1] Ця робота була забута аж до 1980-их років.
Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим.[2][3] Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.
Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Буземаном.[4]
Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:
- Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
- Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.
- Гіперболічність у сенсі Громова є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.
Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала Теорема Громова про компактність. Основна робота була написана Юрієм Дмитровичем Бураго, Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.[5]
Основні визначення
Трикутник порівняння для трійки точок метричного простору це трикутник на евклідовій площині з тими ж довжинами сторін; тобто
Кут при вершині у трикутнику порівняння називаються кутом порівняння трійки і позначаються .
В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.
Недодатна кривина
Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок розглянемо кілька трикутників порівняння і . Тоді для довільної точки виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.
Невід'ємна кривина
Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.
Загальні обмеження на кривину
Замість Евклідової площини можна взяти простір — модельну площину кривини . Тобто
- є евклідова площина,
- при є сфера радіуса ,
- при є площина Лобачевського кривини .
Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною і у сенсі Александрова У разі , трикутник порівняння трійки вважається визначеним, якщо виконана така нерівність
- .
Основні теореми
- Лема Александрова — важливе технічне твердження про кути порівняння
- Теорема Решетняка про склеювання — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами.
- Теорема Решетняка про мажорування — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів.
- Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана.
- Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням теореми порівняння Топоногова.
Див. також
Примітки
- Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
- Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
- Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
- Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
- Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.
Література
- Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
- Лекция 5, Геометрия Александрова
- Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
- Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. «Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces». arXiv:1701.03483 [math.DG].