Альтернативна алгебра

З використанням асоціатора

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)\,}$

тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд

${\displaystyle [x,x,y]=0\,}$

${\displaystyle [y,x,x]=0\,}$

для будь-яких елементів ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y.}$ Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що

${\displaystyle [x,y,z]+[y,x,z]=0\,}$

${\displaystyle [x,y,z]+[x,z,y]=0\,}$

Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:

${\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}$

де ${\displaystyle \sigma }$ — перестановка елементів ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} \,\sigma }$ — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.

Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:

${\displaystyle x(xy)=(xx)y\,}$

${\displaystyle (yx)x=y(xx)\,}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx)\,}$

звідки відразу слідує третя тотожність.

• Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи ${\displaystyle x,y,z}$ альтернативної алгебри є асоціативними (тобто ${\displaystyle [x,y,z]=0}$) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.

• Тотожності Муфанг:

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y\,}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)\,}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a\,}$

виконуються в довільній альтернативній алгебрі.

• Також виконуються тотожності:

• ${\displaystyle [xy,z,t]-y[x,z,t]-[y,z,t]x=[[x,y],z,t]+[x,y,[z,t]]\,}$
• ${\displaystyle [[x,y]^{4},z,t]=[x,y][[x,y]^{2},z,t]=[[x,y]^{2},z,t][x,y]=0.\,}$

де [x, y] (два аргументи) позначає комутатор елементів x і y : [x, y] = xy -yx.

• В альтернативній алгебрі з одиницею, мультиплікативні обернені елементи, якщо вони існують, єдині. Для довільного оборотного елемента ${\displaystyle x}$ і будь-якого ${\displaystyle y}$ виконується рівність:

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).\,}$

Еквівалентно для всіх таких ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ асоціатор ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ рівний нулю. Якщо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ — оборотні то ${\displaystyle xy}$ теж є оборотним і ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$. Тому множина оборотних елементів є замкнутою щодо множення і утворює лупу Муфанг.

• Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.

• Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
• Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.